Question

【題目】已知 AB 為⊙O 的直徑，BC⊥AB 于 B，且 BC=AB，D 為半圓⊙O 上的一點，連接 BD 并延長交半圓⊙O 的切線 AE 于 E．

（1）如圖 1，若 CD=CB，求證：CD 是⊙O 的切線；

（2）如圖 2，若 F 點在 OB 上，且CD⊥DF，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①不可能；②見解析；（2）

【解析】

（1）連接DO，CO，易證△CDO≌△CBO，即可解題；
（2）連接AD，易證△ADF∽△BDC和△ADE∽△BDA，根據相似三角形對應邊成比例的性質即可解題．

（1）連接DO，CO，

∵BC⊥AB于B，

∴∠ABC=90°，

在△CDO與△CBO中，

，

∴△CDO≌△CBO，

∴∠CDO=∠CBO=90°，

∴OD⊥CD，

∴CD是⊙O的切線；

（2）連接AD，

∵AB是直徑，∴∠ADB=90°，

∴∠ADF+∠BDF=90°，∠DAB+∠DBA=90°，

∵∠BDF+∠BDC=90°，∠CBD+∠DBA=90°，

∴∠ADF=∠BDC，∠DAB=∠CBD，

∵在△ADF和△BDC中，

，

∴△ADF∽△BDC，

∴，

∵∠DAE+∠DAB=90°，∠E+∠DAE=90°，

∴∠E=∠DAB，

∵在△ADE和△BDA中，

，

∴△ADE∽△BDA，

∴，

∴，即，

∵AB=BC，

∴=1．