Question

如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，函數(shù)y=（x＞0，m是常數(shù)）的圖象經(jīng)過A（1，4），B（a，b），其中a＞1，過點(diǎn)A作x軸垂線，垂足為C，過點(diǎn)B作y軸垂線，垂足為D，連接AD，DC，CB。

（1）若△ABD的面積為4，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；
（2）求證：DC∥AB；
（3）當(dāng)AD=BC時(shí)，求直線AB的函數(shù)解析式。

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)（x>0，m是常數(shù)）圖像經(jīng)過A（1，4），
∴m=4，
設(shè)BD，AC交于點(diǎn)E，據(jù)題意，可得B點(diǎn)的坐標(biāo)為，D點(diǎn)的坐標(biāo)為，
E點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∵a>1，
∴DB=a，AE=4-，
由△ABD的面積為4，即a（4-）=4，
得a=3，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為；
（2）證明：據(jù)題意，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0），DE=1，
∵A>1，易得EC=，BE=a-1，
∴，，
∴，
∴DC∥AB；
（3）∵DC∥AB，
∴當(dāng)AD=BC時(shí)，有兩種情況：
①當(dāng)AD∥BC時(shí)，四邊形ADCB是平行四邊形，
由（2）得，，
∴a-1=1，得a=2，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2），
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，
得，解得，
∴直線AB的函數(shù)解析式是y=-2x+6；
②當(dāng)AD與BC所在直線不平行時(shí)，四邊形ADCB是等腰梯形，
則BD=AC，
∴a=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，1），
設(shè)直線AB的函數(shù)解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A，B的坐標(biāo)代入，
得，解得，
∴直線AB的解析式是y=-x+5，
綜上所述，所求直線AB的解析式是y=-2x+6或y=-x+5。