Question

（2013•石景山區(qū)二模）如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)M、N、分別在BC、AB上，將矩形ABCD沿MN折疊，設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．
（1）若點(diǎn)E在AD邊上，BM=

7

2

，求AE的長；
（2）若點(diǎn)E在對(duì)角線AC上，請(qǐng)直接寫出AE的取值范圍：

1≤AE≤3

．

Answer 1

分析：（1）過點(diǎn)M作MH⊥AD交AD于點(diǎn)H，則四邊形ABMH為矩形，可得到MH=AB=3，AH=BM=

7

2

；在直角△EHM中，利用勾股定理即可求得EH的長，則AE的長即可求得；
（2）先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AC=5，當(dāng)沿∠ACB的對(duì)角線折疊時(shí)，AE最小，AE=CA-CB=1；當(dāng)沿∠CAB的對(duì)角線折疊時(shí)，AE最大，AE=AB=3．

解答：解：（1）過點(diǎn)M作MH⊥AD交AD于點(diǎn)H，如圖，則MH=AB=3，AH=BM=

7

2

，
∴矩形ABCD沿MN折疊，設(shè)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，
∴EM=BM=

7

2

，
在Rt△EHM中，
EH=

EM2-HM2

=

( 7 2 )2-32

=

13

2

，
∴AE=AH-EH=

7- 13

2

；
（2）在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=5，
如圖1，M點(diǎn)在C點(diǎn)處，沿∠ACB的對(duì)角線折疊，則CE=CB=4，所以AE=AC-BC=1；
如圖2，N點(diǎn)在A點(diǎn)處，沿∠CAB的對(duì)角線折疊，則AE=AB=3，
∴AE的取值范圍為1≤AE≤3．
故答案為1≤AE≤3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理．