Question

如圖，拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，四邊形OBHC為矩形，CH的延長線交拋物線于點(diǎn)D（5，2），連結(jié)BC、AD.

1.求C點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線的解析式；

2.將△BCH繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后再沿x軸對折得到△BEF（點(diǎn)C與點(diǎn)E對應(yīng)），判斷點(diǎn)E是否落在拋物線上，并說明理由；

3.設(shè)過點(diǎn)E的直線交AB邊于點(diǎn)P，交CD邊于點(diǎn)Q. 問是否存在點(diǎn)P，使直線PQ分梯形ABCD的面積為1∶3兩部分？若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

 

Answer 1

 

1.∵四邊形OBHC為矩形，∴CD∥AB，

       又D（5，2），

       ∴C（0，2），OC=2 . …………………………… 2分

       ∴   解得

        ∴拋物線的解析式為： ……4分

2.點(diǎn)E落在拋物線上. 理由如下：……… 5分

        由y = 0，得.

        解得x1=1，x2=4. ∴A（4，0），B（1，0）.  …………………………… 6分

        ∴OA=4，OB=1.

        由矩形性質(zhì)知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°，

        由旋轉(zhuǎn)、軸對稱性質(zhì)知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°，

        ∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，－1）.  ……………………………………………… 7分

        把x=3代入，得，

         ∴點(diǎn)E在拋物線上. ………………………………………………………… 8分

3.法一：存在點(diǎn)P（a，0），延長EF交CD于點(diǎn)G，易求OF=CG=3，PB=a－1.

S梯形BCGF = 5，S梯形ADGF = 3，記S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，

         

下面分兩種情形：

         ①當(dāng)S1∶S2 =1∶3時(shí)，，

此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)F（3，0）的左側(cè)，則PF= 3－a，

由△EPF∽△EQG，得，則QG=9－3a，

∴CQ=3－(9－3a) =3a －6

由S1=2，得，解得；………………… 11分

             ②當(dāng)S1∶S2=3∶1時(shí)，

此時(shí)點(diǎn)P在點(diǎn)F（3，0）的右側(cè)，則PF= a－3，

由△EPF∽△EQG，得QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，

由S1= 6，得，解得.

綜上所述：所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）……… 14分

 法二：存在點(diǎn)P（a，0）. 記S梯形BCQP = S1，S梯形ADQP = S2，易求S梯形ABCD = 8.

當(dāng)PQ經(jīng)過點(diǎn)F（3，0）時(shí)，易求S1=5，S2 = 3，

此時(shí)S1∶S2不符合條件，故a≠3.

設(shè)直線PQ的解析式為y = kx+b(k≠0)，則，解得，

∴. 由y = 2得x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） …… 10分

∴CQ = 3a－6，BP = a－1，.

下面分兩種情形：

①當(dāng)S1∶S2 = 1∶3時(shí)，=2；

  ∴4a－7 = 2，解得；…………………………………………… 12分

②當(dāng)S1∶S2 = 3∶1時(shí)，；

   ∴4a－7 = 6，解得；

綜上所述：所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0）或（，0）………… 14分

解析:（1）由于CD∥x軸，因此C，D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同，那么C點(diǎn)的坐標(biāo)就是（0，2），n=2；已知拋物線過D點(diǎn)，可將D的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可求出m的值，也就確定了拋物線的解析式；

（2）由于旋轉(zhuǎn)翻折只是圖形的位置有變化，而大小不變，因此：△BCH≌△BEF，OC=BF，CH=EF．OC的長可以通過C點(diǎn)的坐標(biāo)得出，求CH即OB的長，要先得出B點(diǎn)的坐標(biāo)，可通過拋物線的解析式來求得．這樣可得出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入拋物線的解析式即可判斷出E是否在拋物線上；

（3）本題可先表示出直線PQ分梯形ABCD兩部分的各自的面積．首先要得出P，Q的坐標(biāo)．可先設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)如：（a，0）．由于直線PQ過E點(diǎn)，因此可根據(jù)P，E的坐標(biāo)用待定系數(shù)法表示出直線PQ的解析式，進(jìn)而可求出Q點(diǎn)的坐標(biāo)．這樣就能表示出BP，AP，CQ，DQ的長，也就能表示出梯形BPQC和梯形APQD的面積．然后分類進(jìn)行討論

①梯形BPQC的面積：梯形APQD的面積=1：3，

②梯形APQD的面積：梯形BPQC的面積=1：3，

根據(jù)上述兩種不同的比例關(guān)系式，可求出各自的a的取值，也就能求出不同的P點(diǎn)的坐標(biāo)．綜上所述可求出符合條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)．