Question

如圖，射線AM交一圓于點(diǎn)B、C，射線AN交該圓于點(diǎn)D、E，且

BC

=

DE

．
（1）求證：AC=AE；
（2）利用尺規(guī)作圖，分別作線段CE的垂直平分線與∠MCE的平分線，兩線交于點(diǎn)F（保留作圖痕跡，不寫作法），求證：EF平分∠CEN．

Answer 1

分析：（1）作OP⊥AM，OQ⊥AN于Q，連接AO，BO，DO．證△APO≌△AQO，由BC=CD，得CP=EQ后得證；
（2）同AC=AE得∠ECM=∠CEN，由CE=EF得∠FCE=∠FEC=

1

2

∠MCE=

1

2

∠CEN得證．

解答：證明：（1）作OP⊥AM于P，OQ⊥AN于Q，連接AO，BO，DO．

∵

BC

=

DE

，
∴BC=DE，
∴BP=DQ，
又∵OB=OD，
∴△OBP≌△ODQ，
∴OP=OQ．
∴BP=DQ=CP=EQ．
直角三角形APO和AQO中，
AO=AO，OP=OQ，
∴△APO≌△AQO．
∴AP=AQ．
∵CP=EQ，
∴AC=AE．

（2）∵AC=AE，
∴∠ACE=∠AEC．
∴∠ECM=∠CEN．
由于AF是CE的垂直平分線，
∴CF=EF．
∴∠FCE=∠FEC=

1

2

∠MCE=

1

2

∠CEN．
因此EF平分∠CEN．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓、等腰三角形、線段的垂直平分線、角平分線、尺規(guī)作圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查幾何推理能力和空間觀念．