Question

設(shè)二次函數(shù)y₁=ax²+bx+c（a＞b＞c）當(dāng)自變量x=1時(shí)函數(shù)值為0，一次函數(shù)y₂=ax+b．
（1）求證：上述兩個(gè)函數(shù)圖象必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；
（2）若二次函數(shù)圖象與x軸有一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，且t為奇數(shù)時(shí)，求t的值．
（3）設(shè)上述兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)A、B在x軸上的射影分別為A₁，B₁，求線段A₁B₁的長(zhǎng)的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)自變量x=1時(shí)函數(shù)值為0，將其代入y₁中得到
y₁=a+b+c=0，又有a＞b＞c，可知，a＞0，c＜0，b的正負(fù)不能確定，
聯(lián)系兩個(gè)函數(shù)，即兩線相交：ax²+bx+c=ax+b，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0，
△=（b-a）²-4a（c-b）=（b-a）²-4ac+4ab=（b+a）²-4ac，
∵a＞0，c＜0，-4ac＞0，
∴（b+a）²-4ac＞0，
∴兩個(gè)函數(shù)圖象必有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）由（1）得，很明顯，x=1是二次函數(shù)與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，滿足題意，t=1，
如果，另一個(gè)根為t，即t≠1，且t為奇數(shù)，
則兩個(gè)根為1，t，
根據(jù)韋達(dá)定理，
=1×t，-=1+t，
a＞0，c＜0，可知=1×t＜0，即t＜0，
又a＞b，a＞0，有＞，
即1＞，得到-＞-1，
所以，-=1+t＞-1 即t＞-2，
t為奇數(shù)，t=-1．
∴t=±1；

（3）上述兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)A．B在x軸上的射影分別為A₁．B₁，
有A₁，B₁為ax²+bx+c=ax+b的兩根，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0
有兩根為
x₁=，x₂=，
A₁B₁=
=
=，
∵-c=a+b，
∴A₁B₁=
=
=． 　　　　A式
現(xiàn)在關(guān)鍵是求的取值范圍．
由a＞b，a＞0，有＞，
即1＞，
由-a=b+c，b＞c，得到-a=b+c＜2b，
即-a＜2b，得到　＞-，
∴＜＜1分別代入A式為，
∴＜A₁B₁＜2．
分析：（1）將兩個(gè)解析式組成一個(gè)方程組后，然后轉(zhuǎn)化為一個(gè)一元二次方程，由根的判別式就可以得出結(jié)論．
（2）由條件就可以得出其中一值為1，設(shè)出另一交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，由韋達(dá)定理就可以求出t的取值范圍，從而可以求出其t值．
（3）由條件利用求根公式可以表示出A₁、B₁的橫坐標(biāo)，由數(shù)軸上的點(diǎn)表示出A₁B₁的值，確定出的取值范圍，從而確定出A₁B₁的范圍，得出結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，根的判別式，勾股定理的運(yùn)用，函數(shù)值的運(yùn)用及韋達(dá)定理的運(yùn)用．