Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD⊥AB于P，交⊙O于D，E為AC的中點，EP交BD于F，⊙O的直徑為d．下列結(jié)論：
①EF⊥BD；②AC²+BD²的值為定值；③OE=

1

2

BD；④AB•CD=2S_{四邊形ADBC}
其中正確的個數(shù)是（　�。�

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：先利用PE為Rt△APC的斜邊上的中線得到PE=CE，則∠ECP=∠EPC，再根據(jù)對頂角相等得∠EPC=∠DPF，根據(jù)圓周角相等得∠CAP=∠CDB，于是有∠DPF+∠PDF=∠ACP+∠CAP=90°，則可對①進行判斷；
作PH⊥BD于H，連接OA、OC、OB、OD，如圖，利用等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理可得∠AOE=∠ABC，∠DOH=∠BCD，由于∠ABC+∠BCD=90°，則∠AOE+∠DOH=90°，然后根據(jù)等角的余角相等得到∠EAO=∠DOH，于是可根據(jù)“AAS”證明△AOE≌△ODH，得到OE=DH，再根據(jù)垂徑定理由OH⊥BD得到BH=DH，所以O(shè)E=

1

2

BD，則可對③進行判斷；
在Rt△OAE中，利用勾股定理得AE²+OE²=OA²，加上AE=

1

2

AC，OE=

1

2

BD，則AC²+BD²=4OA²，于是可對②進行判斷；
利用S_{四邊形ADBC}=S_△ABC+S_△ABD和三角形面積公式可對④進行判斷．

解答：解：∵CD⊥AB，
∴∠APC=90°，
∵E為AC的中點，即PE為Rt△APC的斜邊上的中線，
∴PE=CE，
∴∠ECP=∠EPC，
而∠EPC=∠DPF，∠CAP=∠CDB，
∴∠DPF+∠PDF=∠ACP+∠CAP=90°，
∴EF⊥BD，所以①正確；
作PH⊥BD于H，連接OA、OC、OB、OD，如圖，
∵E為AC的中點，
∴OE⊥AC，
∴∠AOE=

1

2

∠AOC，∠DOH=

1

2

∠BOD，
∵∠ABC=

1

2

∠AOC，∠BCD=

1

2

∠BOD，
∴∠AOE=∠ABC，∠DOH=∠BCD，
而∠ABC+∠BCD=90°，
∴∠AOE+∠DOH=90°，
而∠AOE+∠EAO=90°，
∴∠EAO=∠DOH，
在△AOE和△ODH中，

∠AEO=∠OHD ∠EAO=∠HOD OA=DO

，
∴△AOE≌△ODH（AAS），
∴OE=DH，
∵OH⊥BD，
∴BH=DH，
∴OE=

1

2

BD，所以③正確；
在Rt△OAE中，∵AE²+OE²=OA²，
而AE=

1

2

AC，OE=

1

2

BD，
∴AC²+BD²=4OA²，
而OA為圓的半徑，為定值，
∴AC²+BD²的值為定值，所以②正確；
∵S_{四邊形ADBC}=S_△ABC+S_△ABD
=

1

2

AB•CP+

1

2

AB•DP
=

1

2

AB（PC+DP），
=

1

2

AB•CD，
∴AB•CD=2S_{四邊形ADBC}，所以④正確．
故選D．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理、圓周角定理和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)；會運用勾股定理和三角形面積公式計算；能運用全等三角形的知識解決線段相等的問題．