Question

如圖，AD是△ABC的角平分線，點F，E分別在邊AC，AB上，且FD=BD．
（1）求證：∠B+∠AFD=180°；
（2）如果∠B+2∠DEA=180°，探究線段AE，AF，FD之間滿足的等量關系，并證明．

Answer 1

分析：（1）在AB上截取AG=AF，進而得出∠FAD=∠DAG，利用SAS得出△AFD≌△AGD，進而得出∠AFD=∠AGD，FD=GD，即可得出∠B+∠AFD=∠DGB+∠AGD=180°；
（2）首先過點E作∠DEH=∠DEA，點H在BC上，進而得出∠AFD=∠AGD=∠GEH，則GD∥EH，求出AE=AG+GE=AF+FD．

解答：解：（1）在AB上截取AG=AF． 
∵AD是△ABC的角平分線，
∴∠FAD=∠DAG．
在△AFD和△AGD中，

AF=AG ∠FAD=∠GAD AD=AD

∴△AFD≌△AGD（SAS），
∴∠AFD=∠AGD，FD=GD，
∵FD=BD，
∴BD=GD，
∴∠DGB=∠B，
∴∠B+∠AFD=∠DGB+∠AGD=180°；

（2）AE=AF+FD．                        
過點E作∠DEH=∠DEA，點H在BC上．
∵∠B+2∠DEA=180°，
∴∠HEB=∠B．
∵∠B+∠AFD=180°，
∴∠AFD=∠AGD=∠GEH，
∴GD∥EH．
∴∠GDE=∠DEH=∠DEG．
∴GD=GE．
又∵AF=AG，
∴AE=AG+GE=AF+FD．

點評：本題考查三角形全等的性質和判定方法以及等邊三角形的性質．判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．判定兩個三角形全等，先根據已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．