同學(xué)們可能都知道，對(duì)于一個(gè)整數(shù)，如果它的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和可以被3整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能夠被3整除，例如，一個(gè)四位數(shù)，千位上的數(shù)字是a，百位上的數(shù)字是b，十位上的數(shù)字為c，個(gè)為上的數(shù)字為d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么這個(gè)四位數(shù)就可以被3整除．
（1）你會(huì)證明這個(gè)結(jié)論嗎？寫出你的論證過(guò)程（以這個(gè)四位數(shù)為例即可）．
（2）通過(guò)本題的證明，你能總結(jié)出能被9整除的整數(shù)的特點(diǎn)嗎？不必證明．
分析：（1）首先根據(jù)題意可設(shè)a+b+c+d=3e，則此四位數(shù)1000a+100b+10c+d可表示為999a+99b+9c+a+b+c+d，即3（333a+33b+3c）+3e，所以可得這個(gè)四位數(shù)就可以被3整除；
（2）根據(jù)（1）可知如果一個(gè)整數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和可以被9整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能夠被9整除．
解答：證明：（1）設(shè)a+b+c+d=3e（e為整數(shù)），
這個(gè)四位數(shù)可以寫為：1000a+100b+10c+d，
∴1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3（333a+33b+3c）+3e，
∴
1000a+100b+10c+d
3
=333a+33b+3c+e，
∵333a+33b+3c+e是整數(shù)，
∴1000a+100b+10c+d可以被3整除．

（2）如果一個(gè)整數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字和可以被9整除，那么這個(gè)數(shù)就一定能夠被9整除．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了數(shù)的整除性問(wèn)題．注意四位數(shù)的表示方法與整體思想的應(yīng)用．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源：學(xué)習(xí)周報(bào)　數(shù)學(xué)　華師大八年級(jí)版　2009－2010學(xué)年　第19～26期　總第175～182期 華師大版 題型：044

　　從前有個(gè)國(guó)王，他有三個(gè)兒子．大王子只喜歡讀書，二王子只知道習(xí)武，小王子的興趣十分廣泛，愛讀書，愛習(xí)武，還愛玩．

　　有一天，國(guó)王對(duì)王子們說(shuō)：“你們的祖父母去世早，你們可能都記不得他們的年齡了，誰(shuí)能告訴我，你們的祖父母都活了多大歲數(shù)？”

　　二王子問(wèn)：“可以問(wèn)您幾個(gè)問(wèn)題嗎？”

　　國(guó)王回答：“只能問(wèn)一個(gè)．”

　　“啊，問(wèn)一個(gè)問(wèn)題就猜到祖父母的年齡，太困難了，這恐怕連神仙也難辦到！”大王子自言自語(yǔ)地說(shuō)．

　　國(guó)王又問(wèn)小王子說(shuō)：“你行嗎？”小王子點(diǎn)了點(diǎn)頭．大王子和二王子都很驚訝．

　　小王子說(shuō)：“請(qǐng)您把祖父的年齡放在前面、祖母的年齡放在后面，組成一個(gè)四位數(shù)，然后將這個(gè)四位數(shù)平方，接著減去祖母年齡的平方，然后除以祖父年齡的100倍，最后減去祖母的年齡，把所得的數(shù)告訴我．”

　　國(guó)王不知道小王子想干什么，心算了一陣說(shuō)：“得3129”．

　　小王子馬上答道：“祖父活到31歲，祖母活到29歲．”國(guó)王高興地站起來(lái)說(shuō)：“對(duì)極啦，就是這兩個(gè)年齡！”“為什么讓父王算一道題，就能把祖父母的年齡算出來(lái)呢？”“只許問(wèn)一個(gè)問(wèn)題，要猜出兩人的年齡，還不能直接去問(wèn)，你是怎樣算的呢？”兩位哥哥不停地問(wèn)著小王子．

　　小王子的妙算是讓父王算出一個(gè)四位數(shù)，使得千位和百位上的數(shù)字與祖父的年齡有關(guān)；十位和個(gè)位上的數(shù)字與祖母的年齡有關(guān)．

　　小王子的算法是：祖父的年齡放在前面、祖母的年齡放在后面組成的四位數(shù)是3129，將這個(gè)四位數(shù)平方，得9790641；減去祖母年齡的平方，得9789800；除以祖父年齡的100倍，得3158；最后減去祖母的年齡，得(31292－292)÷(31×100)－29＝3129．

　　大王子問(wèn)：“為什么這樣一定可以得到3129呢？”

小王子解釋，可以利用整式的乘除的知識(shí)，把上面的算式以另一種方式做一下變形：

　　[(31×100＋29)2－292]÷3100－29＝(312×1002＋2×31×100×29＋292－292)÷3100－29＝(312×1002＋2×31×100×29)÷3100－29＝31×100＋2×29－29＝3129．

　　原來(lái)小王子像魔術(shù)師變魔術(shù)一樣，在計(jì)算中加了一點(diǎn)“偽裝”，這就是“將四位數(shù)平方，減去祖母年齡的平方，除以祖父年齡的100倍，減去祖母的年齡”．其實(shí)這些步驟與計(jì)算祖父、祖母的年齡毫無(wú)關(guān)系，目的是使這種計(jì)算更隱蔽、更神秘(其實(shí)，我們只需根據(jù)由祖父、祖母年齡組成的四位數(shù)就可以知道祖父、祖母的年齡)．

　　同學(xué)們，你能通過(guò)整式的有關(guān)知識(shí)對(duì)小王子的算法作出解釋嗎？

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