△ABC的外心為O，AB=AC，D是AB中點，E是△ACD的重心．證明：OE丄CD．

解：設(shè)AM為高亦為中線，取AC中點F，
∵E是△ACD的重心，
∴E必在DF上，且DE：EF=2：1．
設(shè)CD交AM于G，G必為△ABC重心．連GE，MF，MF交DC于K．
∴DG=CD，GK=DK-DG=DC-DC，
∴DG：GK=DC：（）DC=2：1，
∴DG：GK=DE：EF，
∴GE∥MF，
∵OD丄AB，MF∥AB，
∴OD丄MF，
∴OD丄GE，
又OG丄DE，
∴G又是△ODE之垂心，
∴OE丄CD．
分析：設(shè)AM為高亦為中線，取AC中點F，E必在DF上且DE：EF=2：1．設(shè)CD交AM于G，G必為△ABC重心．
連GE，MF，MF交DC于K．易證：DG：GK=DC：（）DC=2：1．∴DG：GK=DE：EF?GE∥MF．
∵OD丄AB，MF∥AB，∴OD丄MF?OD丄GE．但OG丄DE?G又是△ODE之垂心．易證OE丄CD．
點評：此題綜合考查了外心、重心和垂心的概念和性質(zhì)，證明過程復(fù)雜，難度大．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)在如圖所示的方格紙中，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，以小正方形互相垂直的兩邊所在直線建立直角坐標(biāo)系．
（1）作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，其中A，B，C分別和A1，B1，C1對應(yīng)；
（2）平移△ABC，使得A點在x軸上，B點在y軸上，平移后的三角形記為△A2B2C2，作出平移后的△A2B2C2，其中A，B，C分別和A2，B2，C2對應(yīng)；
（3）填空：在（2）中，設(shè)原△ABC的外心為M，△A2B2C2的外心為M，則M與M2之間的距離為
 
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知銳角△ABC的外心為O，線段OA和BC的中點分別為點M，N．若∠ABC=4∠OMN，
∠ACB=6∠OMN．求∠OMN的大�。�

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知△ABC的外心為0，過點B、C任意作一圓，分別與AB、AC的延長線交于點E、F．求證：AO⊥EF．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

銳角三角形△ABC的外心為O，外接圓半徑為R，延長AO，BO，CO，分別與對邊BC，CA，AB交于D，E，F(xiàn)；證明：
1
AD
+
1
BE
+
1
CF
=
2
R
．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（本小題滿分6分）
在如圖所示的方格紙中，△ABC的頂點都在小正方形的頂點上，以小正方形互相垂直的兩邊所在直線建立直角坐標(biāo)系.

（1）作出△ABC關(guān)于y軸對稱的△A1B1C1，其中A，B，C分別和A1，B1，C1對應(yīng)；
（2）平移△ABC，使得A點在x軸上，B點在y軸上，平移后的三角形記為△A2B2C2，作出平移后的△A2B2C2，其中A，B，C分別和A2，B2，C2對應(yīng)；
（3）填空：在（2）中，設(shè)原△ABC的外心為M，△A2B2C2的外心為M，則M與M2之間的距離為       .

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同步練習(xí)冊答案