Question

如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，AD和過C點的直線互相垂直，垂足為D，且AC平分∠DAB．

（1）求證：DC為⊙O的切線；

（2）若⊙O的半徑為3，AD=4，求AC的長．

Answer 1

考點：

切線的判定；相似三角形的判定與性質(zhì)．

分析：

（1）連接OC，由OA=OC可以得到∠OAC=∠OCA，然后利用角平分線的性質(zhì)可以證明∠DAC=∠OCA，接著利用平行線的判定即可得到OC∥AD，然后就得到OC⊥CD，由此即可證明直線CD與⊙O相切于C點；

（2）連接BC，根據(jù)圓周角定理的推理得到∠ACB=90°，又∠DAC=∠OAC，由此可以得到△ADC∽△ACB，然后利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．

解答：

（1）證明：連接OC

∵OA=OC

∴∠OAC=∠OCA

∵AC平分∠DAB

∴∠DAC=∠OAC

∴∠DAC=∠OCA

∴OC∥AD

∵AD⊥CD∴OC⊥CD

∴直線CD與⊙O相切于點C；

（2）解：連接BC，則∠ACB=90°．

∵∠DAC=∠OAC，∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴，

∴AC²=AD•AB，

∵⊙O的半徑為3，AD=4，

∴AB=6，

∴AC=2．

點評：

此題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，解題時 首先利用切線的判定證明切線，然后利用切線的想這已知條件證明三角形相似即可解決問題．