在平面直角坐標(biāo)系中,二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點, A點在原點的左側(cè),B點的坐標(biāo)為(3,0),與y軸交于C(0,-3)點,點P是直線BC下方的拋物線上一動點.
(1)求這個二次函數(shù)的表達(dá)式.
(2)連結(jié)PO、PC,并把△POC沿CO翻折,得到四邊形POP′C, 那么是否存在點P,使四邊形POP′C為菱形?若存在,請求出此時點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(3)當(dāng)點P運(yùn)動到什么位置時,四邊形 ABPC的面積最大并求出此時P點的坐標(biāo)和四邊形ABPC的最大面積.
(1)y=x2-2x-3;(2)點P(,-
);(3)當(dāng)x=
時,四邊形ABPC的面積最大.此時P點的坐標(biāo)為(
,-
),四邊形ABPC的面積
.
【解析】
試題分析:(1)把B、C兩點的坐標(biāo)代入二次函數(shù)y=x2+bx+c即可求出bc的值,故可得出二次函數(shù)的解析式;
(2)由于四邊形POP′C為菱形,OC必為對角線,進(jìn)而可知OC的中垂線與y軸右邊的拋物線部分的交點即為P點,且P點的縱坐標(biāo)為OC長的一半的相反數(shù),最終可得P點的坐標(biāo).
(3)過點P作y軸的平行線與BC交于點Q,與OB交于點E,設(shè)P(x,x2-2x-3),易得,直線BC的解析式為y=x-3則Q點的坐標(biāo)為(x,x-3),再根據(jù)S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出結(jié)論.
試題解析:(1)∵點B(3,0),C(0,-3)在二次函數(shù)y=x2+bx+c的圖象上,
∴將B、C兩點的坐標(biāo)代入得
,解得:
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為:y=x2-2x-3;
(2)由于菱形的對角線互相垂直平分,所以點P必在OC的垂直平分線上,則點P的縱坐標(biāo)為-,代入拋物線y=x2-2x-3中,得:-
=x2-2x-3,
解得 x1=,x2=
(舍去)
∴點P(,-
)
(3)過點P作y軸的平行線與BC交于點Q,與OB交于點E,
設(shè)P(x,x2-2x-3),
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k≠0),
∵B(3,0),C(0,-3),
∴,
解得,
∴直線BC的解析式為y=x-3.
∴Q點的坐標(biāo)為(x,x-3),
∴S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ
=ABOC+
QPOE+
QPEB
=×4×3+
(3x-x2)×3
=-(x-
)2+
,
∴當(dāng)x=時,四邊形ABPC的面積最大.此時P點的坐標(biāo)為(
,-
),四邊形ABPC的面積
.
考點:二次函數(shù)綜合題.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年重慶市九年級下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
將拋物線+2向右平移1個單位后,再作關(guān)于x軸對稱的圖象,則其頂點坐標(biāo)為( )
A. B.
C.
D.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年云南省九年級上學(xué)期第一輪測試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥CB, ,動點P從點D出發(fā),沿射線DA的方向以每秒2個單位長的速度運(yùn)動,動點Q從點C出發(fā),在線段CB上以每秒一個單位長的速度向點B運(yùn)動,點P,Q分別從點D,C同時出發(fā),當(dāng)點Q運(yùn)動到點B時,點P隨之停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動的時間為t(秒).
(1)設(shè)△BPQ的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)t為何值時,四邊形ABQP是平行四邊形.
(3)當(dāng)t為何值時,以B,P,Q三點為頂點的三角形是等腰三角形?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年云南省九年級上學(xué)期第一輪測試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
函數(shù)y=9-4x2,的頂點坐標(biāo)是________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年云南省九年級上學(xué)期第一輪測試數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
方程x2=6x的根是( )
A、x1=0,x2=-6 B、x1=0,x2=6 C、x=6 D、x=0
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年山東省新泰市九年級上學(xué)期學(xué)業(yè)水平模擬數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
如圖,在直角坐標(biāo)系中,四邊形ABCD是正方形,A(1,-1)、B(-1,-1)、C(-1,1)、D(1, 1).曲線AAA
A
…叫做“正方形的漸開線”,其中
、
、
…的圓心依次是點B、C、D、A循環(huán),則點A
的坐標(biāo)是 .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年山東省新泰市九年級上學(xué)期學(xué)業(yè)水平模擬數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
為了響應(yīng)國家“發(fā)展低碳經(jīng)濟(jì)、走進(jìn)低碳生活”的號召,到目前為止沈陽市共有60000戶家庭建立了“低碳節(jié)能減排家庭檔案”,則60000這個數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A. 60×104 B. 6×105 C. 6×104 D. 0.6×106
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源:2014-2015學(xué)年山東省九年級上學(xué)期期末調(diào)研數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
(本小題滿分10分)利達(dá)經(jīng)銷店為某工廠代銷一種建筑材料.當(dāng)每千克售價為260元時,月銷售量為45千克.該經(jīng)銷店為提高經(jīng)營利潤,準(zhǔn)備采取降價的方式進(jìn)行促銷.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):當(dāng)每千克售價下降10元時,月銷售量就會增加5千克.綜合考慮各種因素,每售出一千克建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元.設(shè)每千克材料售價為x(元),該經(jīng)銷店的月利潤為y(元).
(1)當(dāng)每千克售價是240元時,計算此時的月銷售量;
(2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍);
(3)該經(jīng)銷店要獲得最大月利潤,售價應(yīng)定為每千克多少元?
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