Question

如圖，梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)均在已知圓上，AC平分∠BCD，∠ADC=120°，四邊形ABCD的周長(zhǎng)為20，P是BC上一點(diǎn)，則陰影部分的面積等于

 

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)∠ADC的度數(shù)求出∠ACD、∠ACB、∠ABC的度數(shù)；然后證明∠BAC=90°，得出BC是梯形外接圓的直徑，設(shè)圓心為0，連接OA、OD，由于△OAD和△APD同底等高，故陰影部分的面積是扇形OAD的面積．扇形圓心角的度數(shù)可由圓周角定理求得，關(guān)鍵是求出扇形的半徑；可在Rt△ABC中求出BC與AB的關(guān)系，進(jìn)一步根據(jù)梯形的周長(zhǎng)求出⊙O的直徑，由此得解．

解答：解：如圖，設(shè)梯形ABCD的外接圓圓心為O，連接OA、OD；
∵AD∥BC，
∴∠BCD=180°-∠ADC=60°；
∵AC平分∠BCD，
∴∠ACD=∠ACB=30°；
∵∠ADC=120°，
∴∠BCD=60°，
∴∠ABC=∠BCD=60°，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∴∠ABC=DCB=60°；
∴∠BAC=90°；
即BC是⊙O的直徑；
Rt△ABC中，∠ACB=30°，BC=2AB；
△ACD中，∠ADC=120°，∠ACD=30°；
∴∠CAD=∠ACD=30°，即AD=CD=AB=

1

2

BC；
∵梯形ABCD的周長(zhǎng)為20
∴AB+AD+CD+BC=

5

2

BC=20，即BC=8；
∴OA=OD=4；
又∵∠AOD=2∠ACD=60°，
∴S_扇形AOD=

60π×42

360

=

8π

3

；
∵△APD與△AOD同底等高，
∴S_△APD=S_△AOD；
∴S_陰影=S_△APD+S_弓形AD=S_△AOD+S_弓形AD=S_扇形AOD=

8π

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了梯形的性質(zhì)、圓周角定理以及扇形面積的計(jì)算方法，難點(diǎn)在于確定BC是梯形外接圓的直徑．