Question

如圖，在△ABC中，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊PQ在BC邊上，E、F兩點(diǎn)分別在AB、AC上，AD交EF于點(diǎn)H．
（1）求證：；
（2）當(dāng)矩形EFPQ的面積為20時(shí)，求EF的值．

Answer 1

（1）證明：∵在矩形EFPQ中，EF∥PQ，
∴△AEF∽△ABC，
又∵AD⊥BC，
∴AH⊥EF，
∴；

（2）解：設(shè)EF=x．
由（1）得，
∵BC=10，AD=8，
∴AH：8=x：10，
∴AH=x，
∴EQ=HD=AD-AH=8-x，
∵矩形EFPQ的面積為20，
∴x（8-x）=20，
解得x₁=x₂=5．
故當(dāng)矩形EFPQ的面積為20時(shí)，EF的值為5．
分析：（1）先根據(jù)平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似，證明出△AEF∽△ABC，再根據(jù)相似三角形對應(yīng)高的比相等即可求證；
（2）設(shè)EF=x．先由（1），則可用含x的代數(shù)式表示AH，進(jìn)而得到EQ，再根據(jù)矩形EFPQ的面積為20，列出方程，解方程即可．
點(diǎn)評：本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程等知識，難度中等．