Question

如圖，拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交

于點(diǎn)C，且當(dāng)=0和=4時，y的值相等。直線y=4x-16與這條拋物線相交于兩點(diǎn)，其中一點(diǎn)的橫坐標(biāo)是3，另一點(diǎn)是這條拋物線的頂點(diǎn)M。

（1）求這條拋物線的解析式；

（2）P為線段OM上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作PQ⊥軸于點(diǎn)Q。若點(diǎn)P在線段OM上運(yùn)動（點(diǎn)P不與點(diǎn)O重合，但可以與點(diǎn)M重合），設(shè)OQ的長為t，四邊形PQCO的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；

（3）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，四邊形PQCO的面積S有最大值嗎？如果S有最大值，請求出S的最大值并指出點(diǎn)Q的具體位置和四邊形PQCO的特殊形狀；如果S沒有最大值，請簡要說明理由；

（4）隨著點(diǎn)P的運(yùn)動，是否存在t的某個值，能滿足PO=OC？如果存在，請求出t的值。

Answer 1

解：（1）∵當(dāng)和時，的值相等，∴，

∴，∴

將代入，得，

將代入，得

∴設(shè)拋物線的解析式為

將點(diǎn)代入，得，解得．

∴拋物線，即

（2）設(shè)直線OM的解析式為，將點(diǎn)M代入，得，

∴

則點(diǎn)P,,而,．

=

的取值范圍為：＜≤

（3）隨著點(diǎn)的運(yùn)動，四邊形的面積有最大值．

   從圖像可看出，隨著點(diǎn)由→運(yùn)動，的面積與的面積在不斷增大,即不斷變大，當(dāng)然點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)時，最值

   此時時，點(diǎn)在線段的中點(diǎn)上

  因而．

  當(dāng)時，,∥,∴四邊形是平行四邊形．

（4）隨著點(diǎn)的運(yùn)動，存在，能滿足

   設(shè)點(diǎn)，，． 由勾股定理，得．

   ∵,∴，＜，（不合題意）

   ∴當(dāng)時，