Question

（2005•哈爾濱）如圖，點P是⊙O的直徑BA延長線上一點，PC與⊙O相切于點C，CD⊥AB，垂足為D，連接AC、BC、OC，那么下列結(jié)論中：①PC²=PA•PB；②PC•OC=OP•CD；③OA²=OD•OP；④OA（CP-CD）=AP•CD，正確的結(jié)論有（ ）個．

A．1
B．2
C．3
D．4

Answer 1

【答案】分析：①證明△PBC∽△PCA，即可得到結(jié)論，這實際上是圓的切割線定理，正確；
②根據(jù)切線的性質(zhì)定理，得OC⊥PC，再根據(jù)直角三角形的面積公式即可證明結(jié)論，正確；
③根據(jù)直角三角形的射影定理，得OC²=OD•OP，再根據(jù)OA=OC，即可證明結(jié)論，正確；
④根據(jù)△APC的面積分析，顯然錯誤．
解答：解：①∵PC與⊙O相切于點C，∴∠PCB=∠A，∠P=∠P
∴△PBC∽△PCA，
∴PC²=PA•PB

②∵OC⊥PC，
∴PC•OC=OP•CD

③∵CD⊥AB，OC⊥PC，
∴OC²=OD•OP，
∵OA=OC
∴OA²=OD•OP

④∵AP•CD=•OC•CP+OA•CD，OA=OC
∴OA（CP-CD）=AP•CD
所以正確的有①，②，③④，共4個．
故選D．
點評：綜合運用切割線定理、射影定理、不同的角度表示同一個三角形的面積．