Question

【題目】如圖1，正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為2，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，EF、GH分別是折痕（如圖2）．設(shè)AE=x（0＜x＜2），給出下列判斷：
①當(dāng)x=1時(shí)，點(diǎn)P是正方形ABCD的中心；
②當(dāng)x= 時(shí)，EF+GH＞AC；
③當(dāng)0＜x＜2時(shí)，六邊形AEFCHG面積的最大值是 ；
④當(dāng)0＜x＜2時(shí)，六邊形AEFCHG周長(zhǎng)的值不變．
其中正確的是（寫出所有正確判斷的序號(hào)）．

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：（1）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，

∴△BEF和△DGH是等腰直角三角形，

∴當(dāng)AE=1時(shí)，重合點(diǎn)P是BD的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)P是正方形ABCD的中心；

故①結(jié)論正確，（2）正方形紙片ABCD，翻折∠B、∠D，使兩個(gè)直角的頂點(diǎn)重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)P，

∴△BEF∽△BAC，

∵x= ，

∴BE=2﹣ = ，

∴ = ，即 = ，

∴EF= AC，

同理，GH= AC，

∴EF+GH=AC，

故②結(jié)論錯(cuò)誤，（3）六邊形AEFCHG面積=正方形ABCD的面積﹣△EBF的面積﹣△GDH的面積．

∵AE=x，

∴六邊形AEFCHG面積=22﹣ BEBF﹣ GDHD=4﹣ ×（2﹣x）（2﹣x）﹣ xx=﹣x2+2x+2=﹣（x﹣1）2+3，

∴六邊形AEFCHG面積的最大值是3，

故③結(jié)論錯(cuò)誤，（4）當(dāng)0＜x＜2時(shí)，

∵EF+GH=AC，

六邊形AEFCHG周長(zhǎng)=AE+EF+FC+CH+HG+AG=（AE+CH）+（FC+AG）+（EF+GH）=2+2+2 =4+2

故六邊形AEFCHG周長(zhǎng)的值不變，

故④結(jié)論正確．

所以答案是：①④．

【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和翻折變換（折疊問(wèn)題）的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，需要掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對(duì)角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對(duì)角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形；折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和角相等才能正確解答此題．