Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=-3的一個根為x=2，且二次函數(shù)y=ax²+bx+c的對稱軸是直線x=2，則拋物線的頂點坐標(biāo)為    ．

Answer 1

【答案】分析：由題意方程ax²+bx+c=-3的一個根為x=2，代入得到一個式子，然后再根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c的對稱軸是直線x=2，得-=2，從而解出a，b，c的值，得到拋物線的頂點．
解答：解法一：∵關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=-3的一個根為x=2，
∴4a+2b+c=-3，
∴4a+2b+c+3=0，
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的對稱軸是直線x=2，
∴頂點的橫坐標(biāo)為2，
∴將函數(shù)y=ax²+bx+c向上平移三個單位，得
函數(shù)y=ax²+bx+c+3，此時∵4a+2b+c+3=0，
∴函數(shù)y=ax²+bx+c+3與x軸相切，
此時頂點坐標(biāo)為（2，0），
再將函數(shù)y=ax²+bx+c+3向下平移3個單位，得到函數(shù)y=ax²+bx+c，
∴函數(shù)y=ax²+bx+c+3的頂點也向下平移3個單位，
得到函數(shù)y=ax²+bx+c，的頂點為（2，-3）．
故答案為（2，-3）．
解法二：∵關(guān)于x的一元二次方程ax²+bx+c=-3的一個根為x=2，
∴4a+2b+c=-3，
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的對稱軸是直線x=2，
∴頂點的橫坐標(biāo)為2，
將x=2代入二次函數(shù)解析式得：4a+2b+c=-3，
∴函數(shù)的頂點坐標(biāo)為：（2，-3）．
點評：此題主要考查一元二次方程與函數(shù)的關(guān)系，函數(shù)與x軸的交點的橫坐標(biāo)就是方程的根，若方程無根說明函數(shù)與x軸無交點，另外還考查的函數(shù)的對稱軸及頂點坐標(biāo)，函數(shù)平移的性質(zhì)，知識點多．