Question

如圖，直線l：y=

3

4

x+6交x、y軸分別為A、B兩點，C點與A點關(guān)于y軸對稱．動點P、Q分別在線段AC、AB上（點P不與點A、C重合），滿足∠BPQ=∠BAO．
（1）點A坐標(biāo)是

（-8，0）

，BC=

10

．
（2）當(dāng)點P在什么位置時，△APQ≌△CBP，說明理由．
（3）當(dāng)△PQB為等腰三角形時，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）把x=0和y=0分別代入一次函數(shù)的解析式，求出A、B的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理求出BC即可．
（2）求出∠PAQ=∠BCP，∠AQP=∠BPC，根據(jù)點的坐標(biāo)求出AP=BC，根據(jù)全等三角形的判定推出即可．
（3）分為三種情況：①PQ=BP，②BQ=QP，③BQ=BP，根據(jù)（2）即可推出①，根據(jù)三角形外角性質(zhì)即可判斷②，根據(jù)勾股定理得出方程，即可求出③．

解答：解：（1）∵y=

3

4

x+6
∴當(dāng)x=0時，y=6，
當(dāng)y=0時，x=-8，
即A的坐標(biāo)是（-8，），B0的坐標(biāo)是（0，6），
∵C點與A點關(guān)于y軸對稱，
∴C的坐標(biāo)是（8，0），
∴OA=8，OC=8，OB=6，
由勾股定理得：BC=

62+82

=10，
故答案為：（-8，0），10．

（2）當(dāng)P的坐標(biāo)是（2，0）時，△APQ≌△CBP，
理由是：∵OA=8，P（2，0），
∴AP=8+2=10=BP，
∵∠BPQ=∠BAO，∠BAO+∠AQP+∠APQ=180°，∠APQ+∠BPQ+∠BPC=180°，
∴∠AQP=∠BPC，
∵A和C關(guān)于y軸對稱，
∴∠BAO=∠BCP，
在△APQ和△CBP中，

∠AQP=∠BPC ∠BAO=∠BCP AP=BC

，
∴△APQ≌△CBP（AAS），
∴當(dāng)P的坐標(biāo)是（2，0）時，△APQ≌△CBP．

（3）分為三種情況：
①當(dāng)PB=PQ時，∵由（2）知，△APQ≌△CBP，
∴PB=PQ，
即此時P的坐標(biāo)是（2，0）；
②當(dāng)BQ=BP時，則∠BPQ=∠BQP，
∵∠BAO=∠BPQ，
∴∠BAO=∠BQP，
而根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得：∠BQP＞∠BAO，
∴此種情況不存在；
③當(dāng)QB=QP時，則∠BPQ=∠QBP=∠BAO，
即BP=AP，
設(shè)此時P的坐標(biāo)是（x，0），
∵在Rt△OBP中，由勾股定理得：BP²=OP²+OB²，
∴（x+8）²=x²+6²，
解得：x=-

7

4

，
即此時P的坐標(biāo)是（-

7

4

，0）．
∴當(dāng)△PQB為等腰三角形時，點P的坐標(biāo)是（2，0）或（-

7

4

，0）．

點評：本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，題目綜合性比較強，難度偏大．