Question

（2013•西青區(qū)二模）將矩形紙片ABCD放在平面直角坐標(biāo)系中，點A在y軸正半軸上，點B與點O重合（O為原點），點C在x軸正半軸上．若將矩形紙片折疊，使B落在邊AD（含端點）上，落點記為E，這時折痕與邊BC或者邊CD（含端點）交于F，然后展開鋪平，則以B、E、F為頂點的△BEF稱為矩形ABCD的“折痕三角形”．
（Ⅰ）如圖（1），根據(jù)“折痕三角形”的定義請你判斷矩形ABCD的任意一個“折痕△BEF”的形狀（不需要證明）；
（Ⅱ）如圖（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，當(dāng)它的“折痕△BEF”的頂點E位于AD的中點時，畫出這個“折痕△BEF”，并求出點F的坐標(biāo)；
（Ⅲ）如圖（3），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4．該矩形是否存在面積最大的“折痕△BEF”？若存在，說明理由，并求出此時點E的坐標(biāo)；若不存在，也請你說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圖形結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)即可解答；
（Ⅱ）由折疊性質(zhì)可知，折痕垂直平分BE，求出AB、AE的長，判斷出四邊形ABFE為正方形，求得F點坐標(biāo)；
（Ⅲ）矩形ABCD存在面積最大的折痕三角形BEF，其面積為4，
①當(dāng)F在邊CD上時，S_△BEF≤

1

2

S_矩形ABCD，即當(dāng)F與C重合時，面積最大為4；
②當(dāng)F在邊CD上時，過F作FH∥BC交AB于點H，交BE于K，再根據(jù)三角形的面積公式即可求解；再根據(jù)此兩種情況利用勾股定理即可求出AE的長，進而求出E點坐標(biāo)．

解答：解：（Ⅰ）任意一個“折痕△BEF”的形狀等腰三角形．

（Ⅱ）如圖①，連接BE，畫BE的中垂線交BC與點F，連接EF，△BEF是矩形ABCD的一個折痕三角形．
∵折痕垂直平分BE，AB=AE=2，
∴點A在BE的中垂線上，即折痕經(jīng)過點A．
∴四邊形ABFE為正方形．
∴BF=AB=2，
∴F（2，0）．

（Ⅲ）矩形ABCD存在面積最大的折痕三角形BEF，其面積為4，
理由如下：①當(dāng)F在邊BC上時，如圖②所示．
S_△BEF≤

1

2

S_矩形ABCD，即當(dāng)F與C重合時，面積最大為4．
②當(dāng)F在邊CD上時，如圖③所示，
過F作FH∥BC交AB于點H，交BE于K．
∵S_△EKF=

1

2

KF•AH≤

1

2

HF•AH=

1

2

S_矩形AHFD，
S_△BKF=

1

2

KF•BH≤

1

2

HF•BH=

1

2

S_矩形BCFH，
∴S_△BEF≤

1

2

S_矩形ABCD=4．
即當(dāng)F為CD中點時，△BEF面積最大為4．
下面求面積最大時，點E的坐標(biāo)．
①當(dāng)F與點C重合時，如圖④所示．
由折疊可知CE=CB=4，
在Rt△CDE中，ED=

CE2-CD2

=

42-22

=2

3

．
∴AE=4-2

3

．
∴E（4-2

3

，2）．
②當(dāng)F在邊DC的中點時，點E與點A重合，如圖⑤所示．
此時E（0，2）．
綜上所述，折痕△BEF的最大面積為4時，點E的坐標(biāo)為E（0，2）或E（4-2

3

，2）．

點評：本題考查的是圖形的翻折變換，涉及到矩形及正方形的性質(zhì)，難度較大，在解答此題時要利用數(shù)形結(jié)合的思想進行分類討論．