解:(1)
,
解得A
,
當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí),OB為另一條對(duì)角線,由平行四邊形的性質(zhì),OB的中點(diǎn)即為AC的中點(diǎn),
設(shè)點(diǎn)B的中點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式:
,
從而解得C點(diǎn)坐標(biāo)記為:C
3(
,
),
同理可得:當(dāng)0C為對(duì)角線時(shí):C
1(
,
),
當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí):C
2(
,
);
(2)點(diǎn)B(10,0)、D(0,5),
若以0、A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形為矩形,由題設(shè)可知,只有當(dāng)0A⊥AB時(shí)□OCBA為矩形如圖①,作AE⊥OB于E,
由△OAE∽△DBO得,
,所以
,
解得k=2.
(3)當(dāng)k=2時(shí),A(2,4),則OA=2
,AB=4
,
①如圖②-1,當(dāng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸的正半軸上點(diǎn)A′處,點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到x軸的正半軸上點(diǎn)C處,
BC邊旋轉(zhuǎn)到B′C′位置,并與直線BD相交于點(diǎn)F,C′(4
,0),F(xiàn)(4
,5-2
),
所以S
陰影=S
△OAB-S
△BC′F=20
-25.
②如圖②-2,當(dāng)點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到x軸的正半軸上點(diǎn)A′處,點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到y(tǒng)軸的負(fù)半軸上點(diǎn)C處,
AB邊旋轉(zhuǎn)到A′B′位置,并與邊OC相交于點(diǎn)G(2
,
),OA′=
OC,A′G=
BC,
所以S
陰影=
.
分析:(1)由題意兩直線交于點(diǎn)A,利用方程求出A點(diǎn),利用平行四邊形的性質(zhì):對(duì)角線的交點(diǎn)是兩條對(duì)角線的中點(diǎn),利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式求C點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)將平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形,首先要找到垂直關(guān)系,由題意及圖形幾何關(guān)系只有當(dāng)0A⊥AB時(shí)才滿足題意,從而根據(jù)垂直條件求出k值;
(3)利用(2)的結(jié)論,由題意中的矩形OABC繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn),使點(diǎn)A落在坐標(biāo)軸的正半軸上,分兩種情況在y軸正半軸上或在x軸正半軸上,根據(jù)幾何關(guān)系易求重疊部分的面積.
點(diǎn)評(píng):此題考查一次函數(shù)的性質(zhì)及特殊點(diǎn)的坐標(biāo)公式,中點(diǎn)坐標(biāo)公式,還考查了平行四邊形和矩形的性質(zhì),還間接考查思維的嚴(yán)密性,學(xué)會(huì)分類討論,不要漏掉其他情況.