Question

（2011•宣城模擬）我們知道連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)；通過(guò)證明可以得到“三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半”類(lèi)似三角形中位線(xiàn)，我們把連接梯形兩腰中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做梯形的中位線(xiàn)．如圖在梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB、CD的中點(diǎn)，觀(guān)察EF的位置，聯(lián)想三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)，你能發(fā)現(xiàn)梯形的中位線(xiàn)有什么性質(zhì)？證明你的結(jié)論．
（2）如果點(diǎn)E分線(xiàn)段AB為

AE

EB

=

1

3

，EF∥BC交CD于F，AD=3，BC=5，請(qǐng)你利用第（1）的結(jié)論求出EF=

3.5

（直接填寫(xiě)結(jié)果）；
（3）如果點(diǎn)E分線(xiàn)段AB為

AE

EB

=

m

n

，EF∥BC交CD 于F，AD=a，BC=b，求EF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）連接AF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，然后利用角邊角證明△ADF與△GCF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DF=CF、AD=CG，然后再根據(jù)三角形的中位線(xiàn)定理即可得證明；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AH∥CD交EF于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊相等可得GF=AD，再根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理表示出EG的長(zhǎng)度，然后相加即可求出EF的長(zhǎng)；
（3）與（2）同理可求出EF的長(zhǎng)．

解答：解：（1）證明：如圖1，連接AF并延長(zhǎng)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，
∵AD∥BC，
∴∠D=∠GCF，
∵F是CD的中點(diǎn)，
∴DF=FC，
在△ADF與△GCF中，

∠D=∠GCF DF=FC ∠DFA=∠CFG(對(duì)頂角相等)

，
∴△ADF≌△GCF（ASA），
∴AF=FG，AD=CG，
∴EF∥BC，且EF=

1

2

BG，
∵BG=BC+CG，
∴EF=

1

2

（AD+BC），
即梯形的中位線(xiàn)平行于底邊并且等于兩底和的一半；

（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AH∥CD交EF于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，
∵AD∥BC，
∴GF=CH=AD，
∵

AE

EB

=

1

3

，
∴

EG

BH

=

AE

AB

=

1

4

，
∴EG=

BH

4

，
∴EF=EG+GF=

BH

4

+AD，
∵AD=3，BC=5，
∴EF=

5-3

4

+3=3.5；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)A作AH∥CD交EF于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H，
∵AD∥BC，
∴GF=CH=AD，
∵

AE

EB

=

m

n

，
∴

EG

BH

=

AE

AB

=

m

m+n

，
∴EG=

m

m+n

BH，
∴EF=EG+GF=

m

m+n

BH+AD，
∵AD=a，BC=b，
∴EF=

m

m+n

×（b-a）+a=

mb+na

m+n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形的中位線(xiàn)與平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，通過(guò)作輔助線(xiàn)，把梯形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形的中位線(xiàn)進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵．