Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點D，△ABE和△ACF都是等邊三角形，若AD：BC=12：25，且AB＞AC，求：

S△DBE

S△DAF

．

Answer 1

考點：面積及等積變換

專題：

分析：利用已知首先得出∠DBE=∠DAF，進而得出△ABD∽△CAD，進而求出△DBE∽△DAF，即可得出

S△DBE

S△DAF

=（

DB

DA

）²，再求出BD，AD的長即可得出答案．

解答：解：∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ABD+∠BAD=∠CAD+∠BAD=90°
∴∠ABD=∠CAD ①
∵△ABE和△ACF都是正三角形，
∴∠ABE=∠CAF ②
①+②，得∠DBE=∠DAF ③
∵AD⊥BC，
∴∠BDA=∠ADC=90° ④
∴由 ①和 ④可知△ABD∽△CAD
∴

BD

AD

=

AB

AC

⑤
而AB=BE，CA=AF，
∴

BD

AD

=

BE

AF

⑥
∴由 ③和 ⑥可知△DBE∽△DAF（兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似）
∴

S△DBE

S△DAF

=（

DB

DA

）²（相似三角形面積比等于相似比的平方）
∵

AD

BC

=

12

25

，
∴AD為12個單位長，BC為25個單位長．
由射影定理可知 DA²=BD•DC=BD•（BC-BD）=BC•BD-BD²
即 BD²-25BD+12²=0，
解得BD=16 或 BD=9．
∵AB＞AC，
∴由⑤可知

BD

AD

=

AB

CA

＞1，
∴BD＞AD=12，
∴BD=16個單位長． （BD=9不合條件，應舍去）
∴

S△DBE

S△DAF

=（

DB

DA

）²=（

16

12

）²=

16

9

．

點評：此題主要考查了相似三角形的判定與性質以及射影定理等知識，得出BD，AD的長是解題關鍵．