Question

（2012•蘇州）如圖，已知半徑為2的⊙O與直線l相切于點A，點P是直徑AB左側半圓上的動點，過點P作直線l的垂線，垂足為C，PC與⊙O交于點D，連接PA、PB，設PC的長為x（2＜x＜4）．
（1）當x=

5

2

時，求弦PA、PB的長度；
（2）當x為何值時，PD•CD的值最大？最大值是多少？

Answer 1

分析：（1）由直線l與圓相切于點A，且AB為圓的直徑，根據切線的性質得到AB垂直于直線l，又PC垂直于直線l，根據垂直于同一條直線的兩直線平行，得到AB與PC平行，根據兩直線平行內錯角相等得到一對內錯角相等，再由一對直角相等，利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出△PCA與△PAB相似，由相似得比例，將PC及直徑AB的長代入求出PA的長，在直角三角形PAB中，由AB及PA的長，利用勾股定理即可求出PB的長；
（2）過O作OE垂直于PD，與PD交于點E，由垂徑定理得到E為PD的中點，再由三個角為直角的四邊形為矩形得到OACE為矩形，根據矩形的對邊相等，可得出EC=OA=2，用PC-EC的長表示出PE，根據PD=2PE表示出PD，再由PC-PD表示出CD，代入所求的式子中，整理后得到關于x的二次函數(shù)，配方后根據自變量x的范圍，利用二次函數(shù)的性質即可求出所求式子的最大值及此時x的取值．

解答：解：（1）∵⊙O與直線l相切于點A，且AB為⊙O的直徑，
∴AB⊥l，又∵PC⊥l，
∴AB∥PC，
∴∠CPA=∠PAB，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠APB=90°，又PC⊥l，
∴∠PCA=∠APB=90°，
∴△PCA∽△APB，
∴

PC

AP

=

PA

AB

，即PA²=PC•AB，
∵PC=

5

2

，AB=4，
∴PA=

5 2 ×4

=

10

，
∴Rt△APB中，AB=4，PA=

10

，
由勾股定理得：PB=

16-10

=

6

；

（2）過O作OE⊥PD，垂足為E，
∵PD是⊙O的弦，OE⊥PD，
∴PE=ED，
又∠CEO=∠ECA=∠OAC=90°，
∴四邊形OACE為矩形，
∴CE=OA=2，又PC=x，
∴PE=ED=PC-CE=x-2，
∴PD=2（x-2），
∴CD=PC-PD=x-2（x-2）=x-2x+4=4-x，
∴PD•CD=2（x-2）•（4-x）=-2x²+12x-16=-2（x-3）²+2，
∵2＜x＜4，
∴當x=3時，PD•CD的值最大，最大值是2．

點評：此題考查了切線的性質，平行線的性質，矩形的判定與性質，垂徑定理，勾股定理，相似三角形的判定與性質，以及二次函數(shù)的性質，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵．