Question

如圖1，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF=BE．
（1）求證：CE=CF；
（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE=45°，則GE=BE+GD成立嗎？為什么？
（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：
如圖2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B=90°，AB=BC=12，E是AB上一點(diǎn)，且∠DCE=45°，BE=4，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用已知條件，可證出△BCE≌△DCF（SAS），即CE=CF．
（2）借助（1）的全等得出∠BCE=∠DCF，∴∠GCF=∠BCE+∠DCG=90°-∠GCE=45°，即∠GCF=∠GCE，又因?yàn)镃E=CF，CG=CG，∴△ECG≌△FCG，∴EG=GF，∴GE=DF+GD=BE+GD．
（3）過(guò)C作CG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于G，先證四邊形ABCG是正方形（有一組鄰邊相等的矩形是正方形）．
再設(shè)DE=x，利用（1）、（2）的結(jié)論，在Rt△AED中利用勾股定理可求出DE．
解答：（1）證明：在正方形ABCD中，
∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF．
∴CE=CF．

（2）解：GE=BE+GD成立．
∵△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF．
∴∠ECD+∠ECB=∠ECD+∠FCD．
即∠ECF=∠BCD=90°．
又∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，∠GCF=∠GCE，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG．
∴EG=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．

（3）解：過(guò)C作CG⊥AD，交AD延長(zhǎng)線于G，
在直角梯形ABCD中，
∵AD∥BC，∠A=∠B=90°，
又∠CGA=90°，AB=BC，
∴四邊形ABCG為正方形．
∴AG=BC=12．
已知∠DCE=45°，根據(jù)（1）（2）可知，ED=BE+DG，
設(shè)DE=x，則DG=x-4，
∴AD=AG-DG=16-x，AE=AB-BE=12-4=8．
在Rt△AED中
∵DE²=AD²+AE²，即x²=（16-x）²+8²
解得：x=10．
∴DE=10．
點(diǎn)評(píng)：本題是一道幾何綜合題，內(nèi)容涉及三角形的全等、圖形的旋轉(zhuǎn)以及勾股定理的應(yīng)用，重點(diǎn)考查學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力，是一道好題．本題的設(shè)計(jì)由淺入深，循序漸進(jìn)，考慮到學(xué)生的個(gè)體差異．從閱卷的情況看，本題的得分在4-8分的學(xué)生居多．前兩個(gè)小題學(xué)生做得較好，第三小題，因?yàn)閷W(xué)生不懂得用前面積累的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)答題，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力不強(qiáng)，造成本小題得分率較低．