Question

如圖所示的拋物線是把y=-x²經過平移而得到的．這時拋物線過原點O和x軸正向上一點A，頂點為P；
①當∠OPA=90°時，求拋物線的頂點P的坐標及解析表達式；
②求如圖所示的拋物線對應的二次函數(shù)在時的最大值和最小值．

Answer 1

解：（1）∵拋物線由y=-x²平移得到，
∴設y=-（x-a）²+b（a＞0）
∵拋物線過（0，0），代入得0=-a²+b，
∴b=a²，y=-（x-a）²+a²
過P作PM⊥x軸于M，OM=a，PM=a²
∵P是拋物線頂點，
∴PO=PA，
∴OM=AM，PM==OM，
∴a²=a，
∴a=1或a=0（舍去），
∴P（1，1），拋物線的解析式為y=-（x-1）²+1=-x²+2x；

（2）∵由（1）可知拋物線的頂點P（1，1），解析式為y=-（x-1）²+1=-x²+2x，
∴拋物線對應的二次函數(shù)在時，當x=時，y_最大=-+2×=；
當x=-時，y_最小=-2×=-．
分析：（1）因為拋物線由y=-x²平移得到，所以設y=-（x-a）²+b（a＞0），再把（0，0）代入可得到b=a²，故y=-（x-a）²+a²，過P作PM⊥x軸于M，OM=a，PM=a²，再根據(jù)P是拋物線頂點可知PO=PA，故可得出OM=AM，PM==OM，由此可得出a的值，進而得出其拋物線的解析式；
（2）根據(jù)（1）中拋物線的頂點坐標與解析式可知，拋物線對應的二次函數(shù)在時，當x=時，y有最大值；當x=-時y有最小值．
點評：本題考查的是二次函數(shù)的性質，熟知二次函數(shù)的頂點坐標及等腰直角三角形的性質是解答此題的關鍵．