Question

如圖，點F是△ABC的AC邊中點，過點A作BC的平行線，與∠ABC的平分線相交于點D，E為BD的中點．
試探究：（1）AE與BD的位置關(guān)系，并給予證明；
（2）EF、AB、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

解：（1）AE⊥BD；
證明：∵AD∥BC，
∴∠D=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
則∠D=∠ABD，
∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形，
又∵E是BD的中點，
∴AE⊥BD（三線合一）；

（2）EF=（BC-AB）；
證明：延長AE交BC于點G，（或延長DF）
由（1）知∠D=∠EBG，
∵E是BD中點，
∴BE=DE，
又∵∠AED=∠GEB，
∴△AED≌△GEB（ASA），
∴AD=GB，AE=GE，
又∵F為AC中點，
∴EF是△ACG的中位線，
則EF=GC，
∵GC=BC-GB=BC-AD，由（1）知AD=AB，
∴GC=BC-AB，
∴EF=（BC-AB）．
分析：（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等及角平分線的性質(zhì)，可得△ABD是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的三線合一，即可證得；
（2）易證△AED≌△GEB（ASA），則AD=GB，AE=GE，EF是△ACG的中位線，則EF=GC，又GC=BC-AB，即可得出EF=（BC-AB）．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理，三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．