Question

已知關于x的一元二次方程kx²+（3k+1）x+2k+1=0．
（1）求證：該方程必有兩個實數(shù)根；
（2）若該方程只有整數(shù)根，求k的整數(shù)值；
（3）在（2）的條件下，在平面直角坐標系中，若二次函數(shù)y=（k+1）x²+3x+m與x軸有兩個不同的交點A和B（A在B左側(cè)），并且滿足OA=2•OB，求m的非負整數(shù)值．

Answer 1

（1）證明：△=b²-4ac=（3k+1）²-4k（2k+1），
=（k+1）²≥0，
∴該方程必有兩個實數(shù)根；
（2）解：x=，
x，x，
∵方程只有整數(shù)根，
∴-2-應為整數(shù)，即應為整數(shù)，
∵k為整數(shù)，
∴k=±1；
（3）根據(jù)題意，k+1≠0，即k≠-1，
∴k=1，此時，二次函數(shù)為y=2x²+3x+m，
∵二次函數(shù)與x軸有兩個不同的交點A和B（A在B左側(cè)），
∴△=b²-4ac=3²-4×2×m=9-8m＞0，m＜，
∵m為非負整數(shù)
∴m=0，1，
當m=0時，二次函數(shù)為y=2x²+3x，此時A（，0），B（0，0）
不滿足OA=2•OB，
當m=1時，二次函數(shù)為y=2x²+3x+1，此時A（-1，0），B（，0）
滿足OA=2•OB．
∴m=1．
分析：（1）通過計算方程的△即可證明該方程必有兩個實數(shù)根；
（2）利用公式法求出方程的兩個根，該方程只有整數(shù)根，則可知-2-為整數(shù)，即可求出k的值；
（3）根據(jù)題意，k+1≠0，即k≠-1，二次函數(shù)與x軸有兩個不同的交點A和B（A在B左側(cè)）所以△=b²-4ac=3²-4×2×m=9-8m＞0，再有條件OA=2•OB，即可求出m的非負整數(shù)值．
點評：本題考查了二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點與一元二次方程ax²+bx+c=0根之間的關系．△=b²-4ac決定拋物線與x軸的交點個數(shù)．△=b²-4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點；△=b²-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點；△=b²-4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點．