Question

兩個長為2cm，寬為1cm的長方形，擺放在直線l上（如圖①），CE=2cm，將長方形ABCD繞著點C順時針旋轉(zhuǎn)α角，將長方形EFGH繞著點E逆時針旋轉(zhuǎn)相同的角度．
（1）當旋轉(zhuǎn)到頂點D、H重合時，連接AG（如圖②），求點D到AG的距離；
（2）當α=45°時（如圖③），求證：四邊形MHND為正方形．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)條件CD=CE=DE=2cm，判定△CDE是等邊三角形，利用∠CDE=60°，AD=DG，求出∠DAG=∠DGA=30°，從而求出D到AG的距離為cm；
（2）通過判定四邊形MHND四個角是90°，且鄰邊DN=NH來判定四邊形MHND是正方形．
解答：（1）解：如圖②，作DK⊥AG于點K，
∵CD=CE=DE=2cm，
∴△CDE是等邊三角形，
∴∠CDE=60°，（1分）
∴∠ADG=360°-2×90°-60°=120°．
∵AD=DG=1cm，
∴∠DAG=∠DGA=30°，（2分）
∴DK=DG=cm，
∴點D到AG的距離為cm．（4分）

（2）證明：∵α=45°，BC∥EH，
∴∠NCE=∠NEC=45°，CN=NE，
∴∠CNE=90°，（5分）
∴∠DNH=90°，
∵∠D=∠H=90°，
∴四邊形MHND是矩形，（6分）
∵CN=NE，
∴DN=NH，（7分）
∴矩形MHND是正方形．（8分）
點評：本題考查旋轉(zhuǎn)相等的性質(zhì)和等邊三角形性質(zhì)以及正方形的判定的方法．（旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及每一對對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線所構(gòu)成的旋轉(zhuǎn)角相等．正方形的判定的方法：兩鄰邊相等的矩形是正方形．）