Question

如圖所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分線與BC的垂直平分線交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC（或AC的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)D．
（1）求證：BE=CF；
（2）求AE的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),角平分線的性質(zhì),線段垂直平分線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連結(jié)BD，CD，由角平分線的性質(zhì)和中垂線的性質(zhì)就可以得出△BED≌△CFD就可以得出結(jié)論；
（2）由AED和△AFD全等，就有AE=AF，根據(jù)AC+CF+BE=AB=8． 得出BE+CF=4，進(jìn)而求出BE的值就可以得出結(jié)論．

解答：（1）證明：連結(jié)BD，CD．
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．
∵DE垂直平分BC，
∴DB=DC．
在Rt△DEB和Rt△DFC中

DB=DC DE=DF

，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴BE=CF；
（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，

AD=AD DE=DF

，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．
∴AE=AF．
∵AB=AE+BE，
∴AB=AF+EB，
∴AB=AC+CF+EB．
∵AB=8，AC=4，
∴8=4+CF+EB，
∴CF+EB=4，
∴2EB=4，
∴EB=2．
∴AE=8-2=6．
答：AE的長(zhǎng)為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了角平分線的性質(zhì)的運(yùn)用，垂直平分線的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵．