Question

如圖，△ABC為等腰直角三角形，AB=AC，D為斜邊BC上的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別為AB，AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，若BE=8，CF=6，則S_△DEF=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于G，作DH⊥AC于H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得DG=BG=DH=CH，∠GDH=90°，根據(jù)同角的余角相等求出∠EDG=∠FDH，然后利用“角邊角”證明△EDG和△FDH全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE=DF，EG=FH，設(shè)DG=BG=DH=CH=x，DE=DF=y，根據(jù)BE、CF的長(zhǎng)度列出方程組求出x、y，再利用勾股定理列式求出DE，然后根據(jù)等腰直角三角形的面積公式列式計(jì)算即可得解．

解答：解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥AB于G，作DH⊥AC于H，
∵△ABC為等腰直角三角形，D為斜邊BC上的中點(diǎn)，
∴DG=BG=DH=CH，∠GDH=90°，
∴∠EDG+∠EFH=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠FDH+∠EDH=90°，
∴∠EDG=∠FDH，
在△EDG和△FDH中，

∠EDG=∠FDH DG=DH ∠DGE=∠DHF=90°

，
∴△EDG≌△FDH（ASA），
∴DE=DF，EG=FH，
設(shè)DG=BG=DH=CH=x，GE=HF=y，
∵BE=8，CF=6，
∴

x+y=8 x-y=6

，
解得

x=7 y=1

，
∴DE=

72+12

=5

2

，
∴S_△DEF=

1

2

×（5

2

）²=25．
故答案為：25．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，作輔助線構(gòu)造成全等三角形和等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．