Question

已知：△ABC中，AX，BY，CZ分別是∠A，∠B，∠C的平分線，求證：AX，BY，CZ交于一點．

Answer 1

分析：先證明AX，BY必相交于一點，設此點為I，由內(nèi)心的性質(zhì)，得I與AB，AC邊等距，I與AB，BC邊等距，則I與AC，BC邊等距，所以AX，BY，CZ相交于一點．

解答：證明：∵AX，BY是∠A，∠B的平分線，
∴AX，BY必相交于一點，設此點為I（不然的話，AX，BY必平行，則∠BAX+∠YBA=180°，這是不可能的），
∴I與AB，AC邊等距，I與AB，BC邊等距，
∴I與AC，BC邊等距，
∴I必在CZ上，
∴AX，BY，CZ相交于一點．

點評：若證明幾條直線共點，可先證其中兩條直線相交，再證這個交點分別在其余各條直線上，則這幾條直線必共點于此交點．
由于三角形三內(nèi)角平分線的交點與三邊距離相等，所以以此交點為圓心，以此點到各邊的距離為半徑作圓，此圓必與三角形三邊內(nèi)切，所以稱此交點為三角形內(nèi)切圓圓心，簡稱內(nèi)心．