如圖,P是射線y=
35
x(x>0)上的一個動點(diǎn),以點(diǎn)P為圓心的圓與y軸相切于點(diǎn)C,與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn).
(1)若⊙P的半徑為5,求A、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)?
(2)求以P為頂點(diǎn),且經(jīng)過點(diǎn)A的拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式?
(3)在(2)的條件下,上述拋物線是否經(jīng)過點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)D?請說明理由.
(4)試問:是否存在這樣的直線l,當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動過程中,經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的頂精英家教網(wǎng)點(diǎn)都在直線l上?若存在,請求出直線l所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式;若不存在,請說明理由.
分析:(1)根據(jù)射線的斜率先求出C點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求得P點(diǎn)坐標(biāo),再求出圓P的方程,令y=0即可求出A點(diǎn)坐標(biāo);
(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-5)2+3,將A點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求得拋物線的解析式;
(3)先求出D點(diǎn)坐標(biāo),再將D點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線解析式,即可驗(yàn)證點(diǎn)D不在拋物線上;
(4)可先根據(jù)直線OP的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo),然后用P點(diǎn)的橫坐標(biāo)仿照(1)的方法求出A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo),然后用待定系數(shù)法求出過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的解析式,求出其頂點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)這個頂點(diǎn)坐標(biāo)即可得出所求的直線解析式.
解答:解:(1)由題意可知
OC
PC
=
3
5
,已知PC=5,
解得OC=3=yP,則xP=5,
故P點(diǎn)坐標(biāo)為P(5,3),C點(diǎn)坐標(biāo)為C(0,3),
圓P的方程為(x-5)2+(y-3)2=25,
令y=0,解得x=1或x=9,
由圖象可知A、B點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,0),B(9,0),
故A(1,0),P(5,3);

(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x-5)2+3,
將A點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,0),代入y=a(x-5)2+3,
解得a=-
3
16

故拋物線的解析式為y=-
3
16
(x-5)2+3,

(3)因?yàn)镈與C關(guān)于原點(diǎn)對稱,故D點(diǎn)坐標(biāo)為D(0,-3),
將D點(diǎn)坐標(biāo)代入y=-
3
16
(x-5)2+3,
即-3≠-
3
16
(0-5)2+3=-
27
16
,
故點(diǎn)D不在拋物線上;

(4)設(shè)P(m,n),m>0,則n=
3
5
m,
過點(diǎn)P作PQ⊥AB,垂足為Q,則AQ=BQ,精英家教網(wǎng)
∵PA=PC=m,PQ=
3
5
m,
∴AQ=
4
5
m,
∴A(
1
5
m,0),B(
9
5
m,0),C(0,
3
5
m),
設(shè)經(jīng)過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=a(x-
1
5
m)(x-
9
5
m),
將C(0,
3m
5
)代入解析式,
得a=
5
3m
,
∴y=
5
3m
(x-
1
5
m)(x-
9
5
m)
=
5
3m
(x2-2mx+
9
25
m2
=
5
3m
[(x-m)2-
16
25
m2]
∴y=
5
3m
(x-m)2-
16
15
m
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,-
16
15
m)
∴存在直線l:y=-
16
15
x,
當(dāng)P在射線y=
3
5
x上運(yùn)動時,過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)都在直線上.存在直線l:y=-
16
15
x.
點(diǎn)評:本題是二次函數(shù)的綜合題,其中涉及到的知識點(diǎn)有拋物線的公式的求法和圓的性質(zhì)等知識點(diǎn),是各地中考的熱點(diǎn)和難點(diǎn),解題時注意數(shù)形結(jié)合數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用,同學(xué)們要加強(qiáng)訓(xùn)練,屬于中檔題.
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24、如圖,C是射線OE上的一動點(diǎn),AB是過點(diǎn)C的弦,直線DA與OE的交點(diǎn)為D,現(xiàn)有三個論斷:①DA是⊙O的切線;②DA=DC;③OD⊥OB.請你以其中的兩個論斷為條件,另一個論斷為結(jié)論,用序號寫出一個真命題,用“★★?★”表示.并給出證明.我的命題是:
①②?③

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,P是射線y=
35
x(x>0)上的一點(diǎn),以P為圓心的圓與y軸相切于C點(diǎn),與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn),若⊙P的半徑為5,則A點(diǎn)坐標(biāo)是
 

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,P是射線y=
35
x(x>0)上的一動點(diǎn),以P為圓心的圓與y軸相切于C點(diǎn),與x軸的正半軸交于A、B兩點(diǎn).
(1)若⊙P的半徑為5,則P點(diǎn)坐標(biāo)是
 
;A點(diǎn)坐標(biāo)是
 
;以P為頂點(diǎn),且經(jīng)過A點(diǎn)的拋物線的解析式是
 
;
(2)在(1)的條件下,上述拋物線是否經(jīng)過點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)D,請說明理由;
(3)試問:是否存在這樣的直線l,當(dāng)P在運(yùn)動過程中,經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線的頂點(diǎn)精英家教網(wǎng)都在直線l上?若存在,請求出直線l的解析式;若不存在,請說明理由.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)如圖,D是射線AB上一點(diǎn),過點(diǎn)D作DE∥AC,交∠BAC平分線于E,過點(diǎn)D作DF⊥AE,垂足為F.
(1)按要求在右圖上將圖形補(bǔ)全;
(2)已知∠BAC=60°,AD=2,求線段EF的長.

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