Question

 如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+c與x軸正半軸交于點F(16，0)、與y軸正半

   軸交于點E(0，16)，邊長為16的正方形ABCD的頂點D與原點O重合，頂點A與點E重

   合，頂點C與點F重合；

   (1) 求拋物線的函數(shù)表達式；

   (2) 如圖2，若正方形ABCD在平面內(nèi)運動，并且邊BC所在的直線始終與x軸垂直，拋物

      線始終與邊AB交于點P且同時與邊CD交于點Q(運動時，點P不與A、B兩點重合，

      點Q不與C、D兩點重合)。設(shè)點A的坐標(biāo)為(m，n) (m>0)。

      j 當(dāng)PO=PF時，分別求出點P和點Q的坐標(biāo)；

      k 在j的基礎(chǔ)上，當(dāng)正方形ABCD左右平移時，請直接寫出m的取值范圍；

      l 當(dāng)n=7時，是否存在m的值使點P為AB邊中點。若存在，請求出m的值；若不存

         在，請說明理由。

 

Answer 1

解 (1) 由拋物線y=ax²+c經(jīng)過點E(0，16)、F(16，0)得：，解得a= -，c=16，

          ∴y= -x²+16；

      (2) j 過點P做PG^x軸于點G，∵PO=PF，∴OG=FG，∵F(16，0)，∴OF=16，

           ∴OG=OF=´16=8，即P點的橫坐標(biāo)為8，∵P點在拋物線上，

           ∴y= -´8²+16=12，即P點的縱坐標(biāo)為12，∴P(8，12)，

           ∵P點的縱坐標(biāo)為12，正方形ABCD邊長是16，∴Q點的縱坐標(biāo)為-4，

           ∵Q點在拋物線上，∴-4= -x²+16，∴x₁=8，x₂= -8，

           ∵m>0，∴x₂= -8(舍去)，∴x=8，∴Q(8，-4)；

           k 8-16<m<8；

           l 不存在；

              理由：當(dāng)n=7時，則P點的縱坐標(biāo)為7，∵P點在拋物線上，∴7= - x²+16，

              ∴x₁=12，x₂= -12，∵m>0，∴x₂= -12(舍去)，∴x=12，∴P點坐標(biāo)為(12，7)，

              ∵P為AB中點，∴AP=AB=8，∴點A的坐標(biāo)是(4，7)，∴m=4，

              又∵正方形ABCD邊長是16，∴點B的坐標(biāo)是(20，7)，

              點C的坐標(biāo)是(20，-9)，∴點Q的縱坐標(biāo)為-9，∵Q點在拋物線上，

              ∴ -9= -x²+16，∴x₁=20，x₂= -20，∵m>0，∴x₂= -20(舍去)，x=20，

              ∴Q點坐標(biāo)(20，-9)，∴點Q與點C重合，這與已知點Q不與點C重合矛盾，

              ∴當(dāng)n=7時，不存在這樣的m值使P為AB邊的中點。