Question

如圖，已知四邊形ABCD是四個(gè)角都是直角，四條邊都相等的正方形，點(diǎn)E在BC上，且CE=BC，點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，延長AF與BC的延長線交于點(diǎn)M．以下結(jié)論：①AB=CM；②AE=AB+CE；③S_△AEF=；④∠AFE=90°，其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)有

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

C
分析：由“點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，延長AF與BC的延長線交于點(diǎn)M”知AD=CM，即AB=CM，由邊長關(guān)系可知AE=EM，F(xiàn)為中點(diǎn)知，EF⊥AM，再根據(jù)面積S_{四邊形ABCF}=S_□ABCD-S_△ADF得面積關(guān)系．
解答：由題意知，∵點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，∴DF=CF，
又∵∠D=∠FCM，∠DFA=∠CFM，
∴△ADF≌△MCF，
∴CM=AD=AB，
①正確；
設(shè)正方形ABCD邊長為4，
∵CE=BC=1，
∴BE=3，
∴AE=5，
∴AE=AB+CE，
②正確；
EM=CM+CE=5=AE，
又∵F為AM的中點(diǎn)，
∴EF⊥AM，
④正確，
由CF=2，CE=1得EF=，
由DF=2，AD=4得AF=2，
∴S_△AEF=5，
又S_△ADF=4，
∴S_{四邊形ABCF}=S_□ABCD-S_△ADF=12，
③不正確，
故正確的有3個(gè)，選C．
點(diǎn)評：本題考查了正方形的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)．注意對角線相互垂直平分相等的綜合性質(zhì)的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，要熟練掌握．