Question

（2012•長(zhǎng)春一模）如圖，梯形OABC中，OA在x軸上，CB∥OA，∠OAB=90°，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，B（4，4），BC=2，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段OA運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A停止，過(guò)點(diǎn)Q作QP⊥x軸交折線O-C-B于點(diǎn)P，以PQ為一邊向右作正方形PQRS，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），正方形PQRS與梯形OABC重疊面積為S（平方單位）
（1）求tan∠AOC；
（2）求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求（2）中的S的最大值；
（4）連接AC，AC的中點(diǎn)為M，請(qǐng)直接寫出在正方形PQRS變化過(guò)程中，t為何值時(shí)，△PMS為等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）過(guò)C作CD⊥x軸于D，由B的坐標(biāo)得出AB的長(zhǎng)，再由C的坐標(biāo)得出OD的長(zhǎng)，根據(jù)四邊形ABCD為矩形，得到對(duì)邊相等，即CD=AB，在直角三角形OCD中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出tan∠AOC；
（2）根據(jù)Q的位置分三種情況考慮：當(dāng)0≤x≤

4

3

時(shí)；當(dāng)

4

3

≤x≤2時(shí)；當(dāng)2≤x≤4時(shí)；討論求得S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）由（2）得出的S與t的關(guān)系式，利用一次函數(shù)及二次函數(shù)的性質(zhì)求出三個(gè)函數(shù)的最大值，比較后即可求出S的最大值；
（4）分三種情況考慮：PS=MS；MP=MS；PS=PM，列出方程即可得到t的值．

解答：解：（1）過(guò)C作CD⊥x軸于D，則OD=2，CD=4，
則tan∠AOC=2；

（2）當(dāng)運(yùn)動(dòng)到R與A重合時(shí)，此時(shí)OQ=t，AQ=PQ=4-t
則tan∠AOC=

PQ

OQ

=

4-t

t

=2，
解得t=

4

3

．
當(dāng)0≤x≤

4

3

時(shí)，S=PQ²=（2OQ）²=（2t）²=4t²；
當(dāng)

4

3

≤x≤2時(shí)，S=PQ•AQ=2t•（4-t）=-2t²+8t；
當(dāng)2≤x≤4時(shí)，S=4 AQ=4（4-t）=-4t+16；

（3）當(dāng)0≤x≤

4

3

時(shí)，t=

4

3

時(shí)，t最大=

64

9

；
當(dāng)

4

3

≤x≤2時(shí)，t=2，t_最大=8；
當(dāng)2≤x≤4時(shí)，t=2，t_最大=8；
綜上，t=2時(shí)S最大=8．

（4）當(dāng)t1=

13-2 13

9

，t2=

3

2

，t₃=2

3

-1時(shí)，△PMS為等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似形綜合題，涉及的知識(shí)有：坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，正方形的性質(zhì)，以及一次函數(shù)與二次函數(shù)的性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合及分類討論的數(shù)學(xué)思想，是一道較難的壓軸題．