閱讀理解:如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點P在BC邊上,當∠APD=90°時,易證△ABP∽△PCD,從而得到BP•PC=AB•CD,解答下列問題.
(1)模型探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點P在BC邊上,當∠B=∠C=∠APD時,求證:BP•PC=AB•CD;
(2)拓展應用:如圖3,在四邊形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,∠B=∠C=60°,AO⊥BC于點O,以O為頂點,以BC所在直線為x軸,建立平面直角坐標系,點P為線段OC上一動點(不與端點O、C重合)
(i)當∠APD=60°時,求點P的坐標;
(ii)過點P作PE⊥PD,交y軸于點E,設PO=x,OE=y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量x的取值范圍.
【答案】分析:(1)本題要通過證△ABP和△PCD相似來解.已知∠B=∠APD=∠C,那么可得出它們的補角都相等,進而可求出∠BAP=∠DPC,∠BPA=∠PDC.由此可證得兩三角形相似,即可得出所求的結(jié)論.
(2)①當∠APD=60°,符合了(1)題的條件,因此(1)的結(jié)論在本題適用,可據(jù)此求出BP的長,然后在直角三角形ABO中求出OB的長,由此可得出P點的坐標.
②本題要通過相似三角形進行求解.過D作DM⊥BC于M,可分兩種情況進行討論:
(一):當P在OM上時,PM=OM-OP=5-x,可證△OPE∽△MDP,從而得出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(二):當P在CM上時,PM=OP-OM=x-5,同樣可證△OPE∽△MDP,從而得出y與x的函數(shù)關(guān)系式.
解答:(1)證明:∵∠B=∠C=∠APD,
∴∠BAP+∠BPA=∠BPA+∠DPC=180°-∠B=180°-∠APD,
∴∠BAP=∠DPC,
∵∠B=∠C,
∴△ABP∽△PCD,
∴BP:CD=AB:PC,
∴BP•PC=AB•CD.

(2)解:①∵∠B=∠C=∠APD=60°,
由(1)知,BP•PC=AB•CD.
∵AB=4,BC=10,CD=6,
設BP=x,則PC=BC-BP=10-x,
∴x(10-x)=4×6,
整理,得x2-10x+24=0,
解得x=4或6,
即BP=4或6.
在直角△AOP中,∠AOP=90°,∠B=60°,
∴BO=AB•cos60°=2,
∴OP=BP-BO=2或4.
∴點P的坐標為(2,0)或(4,0);
②過點D作DM⊥BC,則CM=3,DM=3
∴OM=BC-BO-CM=10-2-3=5.
第一種情況:當點P在線段OM上,
∵∠POE=∠DMP=90°,∠OPE=∠MDP=90°-∠DPM,
∴△OPE∽△MDP,
∴OP:DM=OE:PM,
∴x:3=y:(5-x),
∴y=-x2+x(0<x≤5);
第二種情況:當點P在線段CM上,
∵∠POE=∠DMP=90°,∠OPE=∠MDP=90°-∠DPM,
∴△OPE∽△MDP,
∴OP:DM=OE:PM,
∴x:3=y:(x-5),
∴y=x2-x(5<x<8).
點評:本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)和判定等知識點,根據(jù)相似三角形的對應邊成比例得出與所求相關(guān)的比例線段是解題的關(guān)鍵.
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(1)模型探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點P在BC邊上,當∠B=∠C=∠APD時,求證:BP•PC=AB•CD;
(2)拓展應用:如圖3,在四邊形ABCD中,AB=4,BC=10,CD=6,∠B=∠C=60°,AO⊥BC于點O,以O為頂點,以BC所在直線為x軸,建立平面直角坐標系,點P為線段OC上一動點(不與端點O、C重合)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

(2012•臺州模擬)閱讀理解:如圖1,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠B=90°,點P在BC邊上,當∠APD=90°時,易證△ABP∽△PCD,從而得到BP•PC=AB•CD,解答下列問題.
(1)模型探究:如圖2,在四邊形ABCD中,點P在BC邊上,當∠B=∠C=∠APD時,結(jié)論BP•PC=AB•CD仍成立嗎?試說明理由;
(2)拓展應用:如圖3,M為AB的中點,AE與BD交于點C,∠DME=∠A=∠B=45°且DM交AC于F,ME交BC于G.AB=4
2
,AF=3,求FG的長.

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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:閱讀理解

(2013•咸寧)閱讀理解:
如圖1,在四邊形ABCD的邊AB上任取一點E(點E不與點A、點B重合),分別連接ED,EC,可以把四邊形ABCD分成三個三角形,如果其中有兩個三角形相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的相似點;如果這三個三角形都相似,我們就把E叫做四邊形ABCD的邊AB上的強相似點.解決問題:
(1)如圖1,∠A=∠B=∠DEC=55°,試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點,并說明理由;
(2)如圖2,在矩形ABCD中,AB=5,BC=2,且A,B,C,D四點均在正方形網(wǎng)格(網(wǎng)格中每個小正方形的邊長為1)的格點(即每個小正方形的頂點)上,試在圖2中畫出矩形ABCD的邊AB上的一個強相似點E;
拓展探究:
(3)如圖3,將矩形ABCD沿CM折疊,使點D落在AB邊上的點E處.若點E恰好是四邊形ABCM的邊AB上的一個強相似點,試探究AB和BC的數(shù)量關(guān)系.

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科目:初中數(shù)學 來源:2013-2014學年北京市密云九年級上學期期末考試數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題

閱讀理解:

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(1)如圖1,∠A=∠B=∠DEC=55°,試判斷點E是否是四邊形ABCD的邊AB上的相似點,并說明理由;

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科目:初中數(shù)學 來源:2013年初中畢業(yè)升學考試(湖北咸寧卷)數(shù)學(解析版) 題型:解答題

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