Question

二次函數(shù)y=（x+2）²的圖象的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，以AB為邊在第二象限內(nèi)作等邊三角形ABC．
（1）求直線AB的表達(dá)式和點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）點(diǎn)M（m，1）在第二象限，且△ABM的面積等于△ABC的面積，求點(diǎn)M的坐標(biāo)．
（3）以x軸上的點(diǎn)N為圓心，1為半徑的圓，與以點(diǎn)C為圓心，CM的長(zhǎng)為半徑的圓相切，直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）二次函數(shù)y=（x+2）²的圖象的頂點(diǎn)A（-2，0），與y軸的交點(diǎn)B（0，2），
設(shè)直線AB的表達(dá)式為y=kx+b（k≠0），
可求得 k=，b=2．所以直線AB的表達(dá)式為y=x+2．
可得∠BAO=30°，∵∠BAC=60°，
∴∠CAO=90°．
在Rt△BAO中，由勾股定理得：AB=4．
∴AC=4．點(diǎn)C（-2，4）．

（2）∵點(diǎn)C、M都在第二象限，且△ABM的面積等于△ABC的面積，
∴CM∥AB．
設(shè)直線CM的表達(dá)式為y=x+m，點(diǎn)C（-2，4）在直線CM上，
可得 m=6．
∴直線CM的表達(dá)式為y=x+6．
可得點(diǎn)M的坐標(biāo)：（-5，1）．

（3）由C（-2，4）、M（-5，1）可得：
CM==6．
①當(dāng)⊙C與⊙N外切時(shí)，CN=CM+1=7；
在Rt△CAN中，AN===；
∴ON=AN+OA=+2或ON=AN-OA=-2
即：點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（--2，0）、（-2，0）．
②當(dāng)⊙C與⊙N內(nèi)切時(shí)，CN=CM-1=5；
在Rt△CAN中，CN=5，CA=4，則AN=3；
∴ON=AN+OA=3+2或ON=OA-AN=2-3
即：點(diǎn)N的坐標(biāo)為：（-3-2，0），（3-2，0）．
綜上可知：
點(diǎn)N的坐標(biāo)（-3-2，0），（3-2，0），（--2，0），（-2，0）．
分析：（1）已知拋物線的解析式，其頂點(diǎn)以及函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)易求得．在求點(diǎn)C的坐標(biāo)時(shí)，要把握住Rt△AOB的特殊性（含30°角），顯然，若△ABC是等邊三角形，那么AC與x軸垂直，無論通過勾股定理求邊長(zhǎng)還是根據(jù)B點(diǎn)在AC的中垂線上，都能比較容易的求出點(diǎn)C的坐標(biāo)．
（2）“M點(diǎn)在第二象限內(nèi)”確定了點(diǎn)M的大致范圍，若“△ABM的面積等于△ABC的面積”，以AB為底邊進(jìn)行分析，那么點(diǎn)C、點(diǎn)M到直線AB的距離是相同的，即CM∥AB，直線AB的解析式易求，兩直線平行則斜率相同，再代入點(diǎn)C的坐標(biāo)就能通過待定系數(shù)法求出直線CM的解析式，然后代入點(diǎn)M的縱坐標(biāo)即可得出結(jié)論．
（3）首先求出⊙C的半徑，即CM的長(zhǎng)．若⊙C與⊙N相切，就要分兩種情況來考慮：①外切，CN長(zhǎng)等于兩圓的半徑和；②內(nèi)切，CN長(zhǎng)等于兩圓的半徑差．
在明確CN長(zhǎng)的情況下，在Rt△CAN中，通過勾股定理求出AN的長(zhǎng)，進(jìn)一步即可確定點(diǎn)N的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：這道二次函數(shù)題涵蓋了勾股定理、圖形面積的求法、圓與圓的位置關(guān)系等重要知識(shí)．最后一個(gè)小題中，一定要將外切和內(nèi)切都考慮在內(nèi)，以免出現(xiàn)漏解的情況．