Question

把能表示成兩個正整數平方差的這種正整數，從小到大排成一列：a₁，a₂，…，a_n，…，例如：a₁=2²-1²=3，a₂=3²-2²=5，a₃=4²-3²=7，a₄=3²-1²=8，…，那么a₁+a₂+…+a₉₉+a₁₀₀的值是

6999

．

Answer 1

分析：先根據偶數中不是4的倍數的整數不可能是兩整數的平方差可知a₁=3，a₂=5，a₃=7，當k≥2時分別把4k、4k+1、4k+3表示出兩個正整數平方差的形式，再分別求出a₄+a₅+a₆、a₇+a₈+a₉的值，找出規(guī)律即可求解．

解答：解：∵偶數中不是4的倍數的整數不可能是兩整數的平方差，
∴a₁=3，a₂=5，a₃=7…，
當k≥2時，有
4k=（k+1）²-（k-1）²，
4k+1=（2k+1）²-（2k）²，
4k+3=（2k+2）²-（2k+1）²，
且4k+（4k+1）+（4k+3）=12k+4，
∴a₄+a₅+a₆=12×2+4，
a₇+a₈+a₉=12×3+4，
…
a₉₇+a₉₈+a₉₉=12×33+4，
a₁₀₀=4×34，
則a₁+a₂+…+a₉₉+a₁₀₀=3+5+7+12（2+3+…+33）+4×32+4×34=6999．
故答案為：6999．

點評：本題考查的是整數問題的綜合運用，熟知“偶數中不是4的倍數的整數不可能是兩整數的平方差”的知識是解答此題的關鍵．