已知:拋物線y=x2-(a+2)x+9的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上.
(1)求a的值;
(2)若該拋物線的頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上,而此拋物線與直線y=x+9交于A,B兩點(diǎn),且A點(diǎn)在B點(diǎn)左側(cè),P為線段AB上的點(diǎn)(A,B兩端點(diǎn)除外).過點(diǎn)P作x軸的垂線與拋物線交于點(diǎn)Q(可在圖中畫示意圖).問:
①線段AB上是否存在這樣的點(diǎn)P,使得PQ的長等于6?若存在,請求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;
②線段AB上是否存在這樣的點(diǎn)P,使得△ABQ∽△OAC?若存在,請求出此時點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)此題應(yīng)分兩種情況考慮:
①拋物線的頂點(diǎn)在y軸上,那么拋物線的一次項(xiàng)系數(shù)為0,可據(jù)此求出a的值;
②拋物線的頂點(diǎn)在x軸上,拋物線解析式中,若y=0,則所得方程的判別式△=0,可據(jù)此求得a的值.
(2)拋物線的頂點(diǎn)在x軸正半軸上,那么拋物線的對稱軸在y軸右側(cè),根據(jù)上述條件結(jié)合(1)題的解,可求得a的值,進(jìn)而確定該拋物線的解析式,再聯(lián)立直線y=x+9即可求得A、B的坐標(biāo);
①設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo),根據(jù)拋物線和直線AB的解析式,即可表示出P、Q的縱坐標(biāo),進(jìn)而可得到關(guān)于PQ的長和P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求得PQ的最大值及對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo);
②假設(shè)存在符合條件的Q點(diǎn),由于△ABQ∽△OAC,則∠COA=∠QAB=90°,即QA⊥AB,由于直線AB的斜率為1,即它與x軸的夾角為45°,那么∠QAO=45°,若過Q作QH⊥y軸于H,則△QAH是等腰直角三角形,可設(shè)出點(diǎn)Q,進(jìn)而可表示出QH、AH、OH的長,根據(jù)OA=OH+AH=9,即可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo),此時Q(5,4),顯然兩個直角三角形的對應(yīng)直角邊是不成比例的,故不存在符合條件的Q點(diǎn).
解答:解:(1)若拋物線y=x2-(a+2)x+9的頂點(diǎn)在y軸上,得a=-2;(2分)
若拋物線y=x2-(a+2)x+9的頂點(diǎn)在x軸上,
由△=0,得a=4或a=-8.(4分)

(2)根據(jù)題意得a=4,此時拋物線為y=x2-6x+9.(5分)
,
,;
所以A(0,9),B(7,16).(7分)
①由于點(diǎn)P在直線y=x+9上,
因此設(shè)符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,t+9),
此時對應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(t,t2-6t+9),(9分)
由題意得PQ=(t+9)-(t2-6t+9)=6,
解得t=1或6.(11分)
由題意0<t<7,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,10)或(6,15);(12分)
②設(shè)在線段AB上存在這樣的點(diǎn)P,使得△ABQ∽△OAC,
∵∠BAQ=∠AOC=90°,分別過B,Q兩點(diǎn)向y軸作垂線,垂足為E,H,
由∠BAQ=90°,注意到直線y=x+9與x軸所夾的銳角為45°,
由QH=AH可求得點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(5,4),但顯然AB:AQ≠OA:OC,
∴△ABQ與△OAC不可能相似,(13分)
∴線段AB上不存在符合條件的點(diǎn)P.(14分)
點(diǎn)評:此題主要考查二次函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定和性質(zhì)等重要知識點(diǎn),綜合性強(qiáng),難度較大.
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(1)用配方法求頂點(diǎn)C的坐標(biāo)(用含m的代數(shù)式表示);
(2)“若AB的長為2
2
,求拋物線的解析式.”解法的部分步驟如下,補(bǔ)全解題過程,并簡述步驟①的解題依據(jù),步驟②的解題方法;
解:由(1)知,對稱軸與x軸交于點(diǎn)D(
 
,0)
∵拋物線的對稱性及AB=2
2
,
∴AD=DB=|xA-xD|=2
2

∵點(diǎn)A(xA,0)在拋物線y=(x-h)2+k上,
∴0=(xA-h)2+k①
∵h(yuǎn)=xC=xD,將|xA-xD|=
2
代入上式,得到關(guān)于m的方程0=(
2
)2+(      )

(3)將(2)中的條件“AB的長為2
2
”改為“△ABC為等邊三角形”,用類似的方法求出此拋物線的解析式.

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2
2

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(1)求m的取值范圍;
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