Question

設(shè)a是正整數(shù)，二次函數(shù)y=x²+（a+17）x+38-a，反比例函數(shù)y=

56

x

，如果兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)都是整點(diǎn)（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)），求a的值．

Answer 1

分析：先聯(lián)立兩方程，得到關(guān)于x的一元二次方程，把此方程分解為兩個(gè)因式積的形式，再根據(jù)一元二次方程根的判別式即可求解．

解答：解：聯(lián)立方程組

y=x2+(a+17)x+38-a y= 56 x

消去y得，x²+（a+17）x+38-a=

56

x

，
即x³+（a+17）x²+（38-a）x-56=0，
當(dāng)x=1時(shí)，x³+（a+17）x²+（38-a）x-56=0，
∴式子x³+（a+17）x²+（38-a）x-56中含有因式（x-1），
分解因式得（x-1）[x²+（a+18）x+56]=0，（1）
顯然x₁=1是方程（1）的一個(gè)根，（1，56）是兩個(gè)函數(shù)的圖象的一個(gè)交點(diǎn)．
因?yàn)閍是正整數(shù)，所以關(guān)于x的方程x²+（a+18）x+56=0，（2）
其判別式△=（a+18）²-224＞0，它一定有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根．
而兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)都是整點(diǎn)，所以方程（2）的根都是整數(shù)，
因此它的判別式△=（a+18）²-224應(yīng)該是一個(gè)完全平方數(shù)．
設(shè)（a+18）²-224=k²（其中k為非負(fù)整數(shù)），則（a+18）²-k²=224，即（a+18+k）（a+18-k）=224．
顯然a+18+k與a+18-k的奇偶性相同，且a+18+k≥18，而224=112×2=56×4=28×8，
所以

a+18+k=112 a+18-k=2

或

a+18+k=56 a+18-k=4

或

a+18+k=28 a+18-k=8

解得

a=39 k=55

或

a=12 k=26

或

a=0 k=10

而a是正整數(shù)，所以只可能

a=39 k=55

或

a=12 k=26.

．
故答案為：a=39或a=12．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題、根的判別式、整數(shù)的奇偶性，涉及面較廣，難度較大．