Question

如圖，矩形OBCD的邊OB=2，OD=4，過點B、C且與x軸相切于點A的⊙M，與y軸的另一交點為E．
（1）求點A、E的坐標；
（2）求過A、C、E三點的拋物線的解析式．

Answer 1

解：（1）連接AM并延長AM交BC于F，
由于OD與圓M相切于A，因此AF⊥OD．
∵BC∥OD，
∴AF⊥BC
∴BF=FC=OA=AD=2，
即A點的坐標為（2，0）
連接CE、AE、AC，
∵∠EBC=90°，
∴CE是圓M的直徑，
∴∠EAC=90°，
可得△OEA∽△DAC，
∴，
OE=OD•OA÷CD=，
因此E點的坐標為（0，）．

（2）已知A，C，E的坐標分別為（2，0），（4，2），（0，）．
可設過這三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+，
則有，
解得，
因此拋物線的解析式為y=x²-x+．
分析：（1）可連接AM并延長AM交BC于F，那么不難得出AF⊥BC，根據垂徑定理可知BF=OA=2，由此可求出A點的坐標．
求E點坐標，關鍵是求OE的長，可連接CE，AE，AC，由于∠EBC=90°，因此CE必過圓心M，則∠EAC=90°，因此可通過相似三角形OEA和DAC來求出OE的長，即可得出E點的坐標．
（2）根據A、C、E的坐標，用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
點評：本題主要考查了矩形的性質，切線的性質，圓周角定理，相似三角形的應用以及二次函數解析式的確定等知識點，綜合性較強．