Question

如圖，已知頂點(diǎn)為C的拋物線y=ax²-4ax+c經(jīng)過點(diǎn)（-2，0），與y軸交于點(diǎn)A（0，3），點(diǎn)B是拋物線上的點(diǎn)，且滿足AB∥x軸．
（1）求拋物線的表達(dá)式；
（2）求拋物線上關(guān)于原點(diǎn)中心對稱的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）拋物線y=ax²-4ax+c經(jīng)過點(diǎn)（-2，0）、A（0，3），有：
，解得
∴拋物線的解析式：y=-x²+x+3．

（2）依題意，設(shè)這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：（x，-x²+x+3）、（-x，x²-x-3）；
∴x²-x-3=-（-x）²+（-x）+3
解得：x₁=2、x₂=-2；
∴這兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為：（2，2）、（-2、-2）

（3）由（1）的拋物線解析式知：C（2，4）；
過點(diǎn)C作CG⊥y軸于G，如右圖；
∵A（0，3）、C（2，4）
∴OG=4，CG=2，CF=1，AF=2，AC=，OC=2；
則：tan∠COG=tan∠CAF=，即∠AOC=∠CAP；
若以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，那么應(yīng)有兩種情況：
①=，即 =
∴AP=，即 P（，3）；
②=，即 =
∴AP=，即 P（，3）；
綜上，存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)為（，3）或（，3）．
分析：（1）已知拋物線經(jīng)過的兩點(diǎn)坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法求解即可．
（2）首先根據(jù)這兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對稱，用未知數(shù)表示出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再由這兩點(diǎn)都在拋物線的圖象上，將兩點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線的解析式中即可．
（3）首先由O、A、C三點(diǎn)坐標(biāo)，可確定∠CAP=∠AOC，那么若“以P、A、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似”，夾這組對應(yīng)角的兩組對應(yīng)邊必成比例，先求出AC、OC、OA三邊長，再由不同的比例關(guān)系式求出AP的長，而P點(diǎn)縱坐標(biāo)易知（與點(diǎn)A相同），則點(diǎn)P坐標(biāo)可求．
點(diǎn)評：本題主要考查了利用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式、關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)坐標(biāo)的特點(diǎn)以及相似三角形的判定和性質(zhì)；最后一題要注意根據(jù)不同的對應(yīng)邊進(jìn)行分類討論；總體的難度適中．