Question

已知：如圖，矩形OABC的邊OA在x軸的負(fù)半軸上，邊OC在y軸的正半軸上，且OA=2OC，直線y=x+b過點C，并且交對角線OB于點E，交x軸于點D，反比例函數(shù)y=

a

x

過點E且交AB于點M，交BC于點N，連接MN、OM、ON，若△OMN的面積是

80

9

，則a、b的值分別為（　�。�

• A、a=2，b=3
• B、a=3，b=2
• C、a=-2，b=3
• D、a=-3，b=2

Answer 1

考點：反比例函數(shù)綜合題,反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義,矩形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：計算題

分析：過點E作EH⊥AO，垂足為H，易得OC=OD=b，運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)將點E的坐標(biāo)用a的代數(shù)式表示，然后把點E的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式，就可得到a與b的一個等量關(guān)系，然后由△OMN的面積就可得到a與b的又一個等量關(guān)系，就可求出a、b的值．

解答：解：過點E作EH⊥AO，垂足為H，如圖，
∵直線y=x+b與y軸交于點C，交x軸于點D，
∴點C（0，b），點D（-b，0）．
∴OC=OD=b．
∵四邊形OABC是矩形，OA=2OC，
∴BC=OA=2b，AB=OC=b，BC∥OA．
∴△BEC∽△OED．
∴

CE

DE

=

BC

OD

=2．
∴

DC

DE

=3．
∵EH⊥OA，∠COA=90°，
∴∠EHA=∠COA=90°．
∴EH∥OC．
∴△DOC∽△DHE．
∴

OC

EH

=

OD

DH

=

DC

DE

=3．
∴EH=

b

3

，DH=

b

3

．
∴OH=OD-DH=b-

b

3

=

2b

3

．
∴點E的坐標(biāo)為（-

2b

3

，

b

3

）．
∵點E在反比例函數(shù)y=

a

x

上，
∴-

2b

3

×

b

3

=a．
∴2b²=-9a．
∵反比例函數(shù)y=

a

x

圖象交AB于點M，交BC于點N，
∴點M的坐標(biāo)為（-2b，

a

-2b

），點N的坐標(biāo)為（

a

b

，b）．
∴S_△BMN=

1

2

BM•BN
=

1

2

（b-

a

-2b

）[2b-（-

a

b

）]
=

1

2

×

2b2+a

2b

×

2b2+a

b

=

(-9a+a)2

2(-9a)

=-

32

9

a．
∴S_△OMN=S_矩形OABC-S_△AMO-S_△OCN-S_△BMN
=2b²-（-

a

2

）-（-

a

2

）-（-

32

9

a）
=-9a+a+

32

9

a
=-

40

9

a=

80

9

．
解得：a=-2．
∴2b²=-9a=-9×（-2）=18．
∴b=±3．
∵b＞0，
∴b=3．
故選：C．

點評：本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義、相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識，而用坐標(biāo)表示線段長度是本題的易錯點，需注意．