Question

如圖① ，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90^ｏ，AD⊥BC，垂足為D.
（1）S_△ABD =     .(直接寫出結果)
（2）如圖②，將△ABD繞點D按順時針方向旋轉得到△A′B′D，設旋轉角為 ()，在旋轉過程中：
探究一：四邊形APDQ的面積是否隨旋轉而變化？說明理由
探究二：當的度數為多少時，四邊形APDQ是正方形？說明理由.

Answer 1

（1）4，（2）①不會；②=45^ｏ

試題分析：（1）根據S_△ABD= S_{△AB C}結合三角形的面積公式進行解答即可；
（2）①四邊形APDQ的面積不會隨旋轉而變化，因為無論旋轉角為 ()怎樣旋轉，始終是△BPD≌△AQD，即四邊形APDQ的面積等于S_△ABD；
②證得四邊形APDQ為矩形，又因為DP=AP=AB，即可得出結論.
（1）S_△ABD=  S_△ABC= =4
（2）① 四邊形APDQ的面積不會隨旋轉而變化.
理由如下：在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90^ｏ
∠B=∠C=45^ｏ
∵AD⊥BC
∴∠BAD=∠DAC=45^ｏ
∴∠B="∠DAQ=∠BAD" =45^ｏ，BD=AD
又∵∠BDP+∠ADP=90^ｏ，∠ADQ+∠ADP=∠PDQ=90^ｏ
∴∠BDP="∠ADQ"
∴△BPD≌△AQD
S_{四邊形APDQ}= S_△APD+ S_△AQD= S_△APD+ S_△BPD= S_△ABD =4
② 當=45^ｏ時，四邊形ＡPDQ是正方形.
理由如下：

由（1）知△ABD為等腰直角三角形.
當=45^ｏ時，DP⊥AB，即∠APD=90^ｏ
又∵∠A=90^ｏ，∠PDQ=90^ｏ
∴四邊形APDQ為矩形
又∵DP=AP=AB
∴四邊形APDQ是正方形.
點評：本題知識點較多，綜合性強，難度較大，在中考中比較常見，一般以壓軸題形式出現.