Question

感受理解
如圖①，△ABC是等邊三角形，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F，則線段FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系是

EF=FD

自主學(xué)習(xí)
事實上，在解決幾何線段相等問題中，當(dāng)條件中遇到角平分線時，經(jīng)常采用下面構(gòu)造全等三角形的解決思路
如：在圖②中，若C是∠MON的平分線OP上一點，點A在OM上，此時，在ON上截取OB=OA，連接BC，根據(jù)三角形全等判定（SAS），容易構(gòu)造出全等三角形△OBC和△OAC，從而得到線段CA與CB相等
學(xué)以致用
參考上述學(xué)到的知識，解答下列問題：
如圖③，△ABC不是等邊三角形，但∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．求證：FE=FD．

Answer 1

分析：感受理解：首先利用等邊三角形的內(nèi)角相等和角平分線的性質(zhì)得到∠DAC=∠ECA，利用等角對等邊得到FA=FC，然后證明三角形EFA全等于三角形DFC即可證得結(jié)論；
學(xué)以致用：在AC上截取AG=AE，連接FG，根據(jù)“邊角邊”證明△AEF和△AGF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠AFE=∠AFG，全等三角形對應(yīng)邊相等可得FE=FG，再根據(jù)角平分線的定義以及三角形的內(nèi)角和定理推出∠2+∠3=60°，從而得到∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°，然后根據(jù)平角等于180°推出∠CFG=60°，然后利用“角邊角”證明△CFG和△CFD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得FG=FD，從而得證．

解答：感受理解：
解：EF=FD．理由如下：
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠BCA，
∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，
∴∠DAC=∠ECA，∠BAD=∠BCE，
∴FA=FC．
∴在△EFA和△DFC中，

∠EFA=∠DFC AF=CF ∠BAD=∠BCE

，
∴△EFA≌△DFC，
∴EF=FD；

學(xué)以致用：
證明：如圖1，在AC上截取AG=AE，連接FG．
∵AD是∠BAC的平分線，
∴∠1=∠2，
在△AEF和△AGF中，

AG=AE ∠1=∠2 AF=AF

，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，F(xiàn)E=FG，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，
∴∠2=

1

2

∠BAC，∠3=

1

2

∠ACB，
∴∠2+∠3=

1

2

（∠BAC+∠ACB）=

1

2

×120°=60°，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．
∴∠CFG=180°-∠AFG-∠CFD=180°-60°-60°=60°，
∴∠CFG=∠CFD，
∵CE是∠BCA的平分線，
∴∠3=∠4，
在△CFG和△CFD中，

∠CFG=∠CFD FC=FC ∠3=∠4

，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴FG=FD，
∴FE=FD．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和的性質(zhì)，根據(jù)所求角度正好等于60°得到角相等是解題的關(guān)鍵．