Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y₁=kx的圖象與反比例函數(shù)y₂=

m

x

圖象交于A、B兩點(diǎn)．
（1）根據(jù)圖象，求一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)圖象直接寫出kx＞

m

x

的解集為

 

；
（3）若點(diǎn)P在y軸上，且滿足以點(diǎn)A、B、P為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形，試直接寫出點(diǎn)P所有可能的坐標(biāo)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題

專題：計(jì)算題

分析：（1）直接把B點(diǎn)坐標(biāo)分別代入y₁=kx和y₂=

m

x

中，求出khe1m的值，從而得到一次函數(shù)和反比例函數(shù)解析式；
（2）觀察函數(shù)圖象得到當(dāng)x＜-2或0＜x＜2時(shí)，一次函數(shù)圖象都在反比例函數(shù)圖象的上方，即有kx＞

m

x

；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），而A（-2，2），B（2，-2），根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式實(shí)數(shù)PA²=2²+（t-2）²，PB²=2²+（t+2）²，AB²=4²+4²=32，然后分類討論：當(dāng)∠APB=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理得2²+（t-2）²+2²+（t+2）²=32；當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理得2²+（t-2）²+32=2²+（t+2）²；
當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，根據(jù)勾股定理得2²+（t+2）²+32=2²+（t-2）²，再分別解方程求出t的值，最后寫出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）把B（2，-2）代入y₁=kx得k=-1，
∴一次函數(shù)解析式為y₁=-x；
把B（2，-2）代入y₂=

m

x

得m=2×（-2）=-4，
∴反比例函數(shù)解析式為y₂=-

4

x

；
（2）把x=-2代入y₂=-

4

x

得y=2，
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2），
∴當(dāng)x＜-2或0＜x＜2時(shí)，kx＞

m

x

；
（3）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，t），而A（-2，2），B（2，-2），
∴PA²=2²+（t-2）²，PB²=2²+（t+2）²，AB²=4²+4²=32，
當(dāng)∠APB=90°時(shí)，則PA²+PB²=AB²，即2²+（t-2）²+2²+（t+2）²=32，解得t=±2

2

，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2

2

）或（0，-2

2

）；
當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，則PA²+AB²=PB²，即2²+（t-2）²+32=2²+（t+2）²，解得t=4，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）；
當(dāng)∠PBA=90°時(shí)，則PB²+AB²=PA²，即2²+（t+2）²+32=2²+（t-2）²，解得t=-4，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-4）；
綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，4）、（0，-4）、（0，2

2

）、（0，-2

2

）．
故答案為x＜-2或0＜x＜2；（0，4）、（0，-4）、（0，2

2

）、（0，-2

2

）．

點(diǎn)評：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)滿足兩函數(shù)解析式．也考查了勾股定理基恩分類討論的思想．