Question

已知△ABC和△ADE分別是以AB、AE為底的等腰直角三角形，以CE，CB為邊作平行四邊形CEHB，連DC，CH．
（1）如圖1，當(dāng)D點在AB上時，則∠DEH的度數(shù)為________；CH與CD的數(shù)量關(guān)系是________．
（2）將圖1中的△ADE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，（1）中結(jié)論是否成立，試說明理由．
（3）將圖1中的△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)α（O°＜α＜45°）得圖3，請?zhí)骄緾H與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

解：（1）∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，四邊形CEHB為平行四邊形，
∴∠AED=45°，∠AEH=∠ACB=90°，
∴∠DEH=45°，連DH，如圖1，
∵∠DEH=90°-∠DEA=45°，
∴∠A=∠DEH，
∵AD=ED，AC=CB=EH，
∴△DAC≌△DEH，
∴DH=DC，∠ADC=∠EDH，
∴∠ADE=∠CDH=90°，
∴△DHC為等腰直角三角形，
∴CH=DC．

（2）∵圖1中的△ADE繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)45°得圖2，
∴∠DEA=45°，
∴DE∥AC，
∵BC∥HE，∠ACB=90°，
∴∠DEH=90°，
又∵DA=DE，AC=BC=EH，
∴Rt△ADC≌Rt△EDH，
∴DC=DH，即△DHC為等腰直角三角形，
∴CH=CD．

（3）CH=CD；
連DH，如圖3，
∵圖1中的△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)α（O°＜α＜45°）得圖3，
∴∠DAC=45°-α，
∵CB∥HE，
∴∠AME=∠ACB=90°，
∵∠1=∠2，∠ADE=∠AME=90°，
∴∠DEH=∠DAM=45°-α，
∵∠DEH=90°-45°-α=45°-α，
∴∠DAC=∠DEH，
∵DA=ED，CA=CB=EH，
∴△DAC≌△DEH，
∴DC=DH，∠ADC=∠EDH，
∴∠ADE=∠CDH=90°，
∴HC=CD．
故答案為：（1）45°，CH=CD．
分析：（1）連DH，由△ABC和△ADE是等腰直角三角形，四邊形CEHB為平行四邊形，得到∠AED=45°，∠AEH=∠ACB=90°，則∠DEH=45°，易證得△DAC≌△DEH，則DH=DC，∠ADC=∠EDH，得到∠ADE=∠CDH=90°，所以△DHC為等腰直角三角形，得到CH=DC．
（2）由旋轉(zhuǎn)得到∠DEA=45°，則∠DEA=45°，DE∥AC，得到∠DEH=90°，易得Rt△ADC≌Rt△EDH，所以DC=DH，即△DHC為等腰直角三角形，得到CH=CD．
（3）由旋轉(zhuǎn)得到∠DAC=45°-α，而∠DEH=90°-45°-α=45°-α，則∠DAC=∠DEH，易證△DAC≌△DEH，得到DC=DH，∠ADC=∠EDH，所以∠ADE=∠CDH=90°，得到HC=CD．
點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等，對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了三角形全等的判定與旋轉(zhuǎn)以及平行四邊形的性質(zhì)．