Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)E在斜邊AB上，以AE為直徑的⊙O與BC相切于點(diǎn)D．
（1）求證：AD平分∠BAC；
（2）若AD=2

3

，AE=4，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）首先連接OD，由⊙O與BC相切于點(diǎn)D，在Rt△ABC中，∠C=90°，易證得OD∥AC，又由OA=OD，則可證得AD平分∠BAC；
（2）首先連接DE，由AE為直徑，易得∠ADE=90°，然后由勾股定理，求得DE的長，繼而求得AD的長，然后由S_陰影=S_扇形AOD-S_△AOD求得答案．

解答：（1）證明：連接OD，則OA=OD，
∴∠DAO=∠ODA．
∵BC是⊙O的切線，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
即AC⊥BC，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∴∠DAO=∠CAD，
∴AD平分∠BAC；

（2）解：連接ED，
∵AE為直徑，
∴∠ADE=∠C=90°，
∵DE²=AE²-AD²=4，
∴DE=2，
在Rt△ADE中，∵AE=4，AD=2

3

，
∴DE=2，
∴∠DAE=30°，∠AOD=120°，
∴S_△AOD=

1

2

S_△ADE=

1

2

×

1

2

AD•DE=

1

2

×

1

2

×2

3

×2=

3

，
∵S_扇形AOD=

120π×22

360

=

4

3

π，
∴S_陰影=S_扇形AOD-S_△AOD=

4

3

π-

3

．

點(diǎn)評：此題考查了切線的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)以及扇形的面積．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．