Question

如圖，AB為⊙O的直徑，BE切⊙O于點(diǎn)C，連接AE交⊙O于點(diǎn)C，D是BE的中點(diǎn)．求證：CD是⊙O的切線．

Answer 1

分析：連接OC、OD，根據(jù)O、D分別為AB、BE的中點(diǎn)，可證得OD∥AE，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠BOD=∠A，∠COD=∠ACO，又根據(jù)OA=OC，得出∠A=∠ACO，即可證明∠COD=∠BOD，然后根據(jù)SAS證明△COD≌△BOD，即可得出∠OCD=∠OBD=90°，可證明OC為切線．

解答：證明：連接OC、OD，
∵O、D分別為AB、BE的中點(diǎn)，
∴OD∥AE，
∴∠BOD=∠A，∠COD=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∴∠COD=∠BOD，
∵在△COD和△BOD中，

OC=OB ∠COD=∠BOD OD=OD

，
∴△COD≌△BOD，
∴∠OCD=∠OBD，
∵BE是⊙O的切線，
∴∠OBD=90°，
∴∠OCD=∠OBD=90°，
即CD是⊙O的切線．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定以及平行線的性質(zhì)，難度適中，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行線的性質(zhì)證明角的相等，繼而證明三角形的全等．